Uma prova da estacionariedade de um RA (2)

Considere um processo de AR (2) centrado na média que é o processo padrão de ruído branco. Apenas por razões de simplicidade, deixe-me chamar e . Focando nas raízes da equação das características, obtive As condições clássicas nos livros didáticos são as seguintes: \ begin { cases} | a | <1 \\ a \ pm b <1 \ end {cases} Tentei resolver manualmente (com a ajuda do Mathematica) as desigualdades nas raízes, ou seja, o sistema \ begin {cases} | \ frac { -b- \ sqrt {b ^ 2 + 4a}} {2a} |> 1 \\ | \ frac {-b + \ sqrt {b ^ 2 + 4a}} {2a} |> 1 \ end {cases} obtendo apenas a \ pm b <1ε t φ 1 = b φ 2 = um z 1 , 2 = - b ±

$$X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+\epsilon_t$$ $\epsilon_t$$\phi_1=b$$\phi_{2}=a$ { | a | < 1 a ± b < 1 { | - b - $$z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4a}}{2a}$$ $$\begin{cases}|a|<1 \\ a\pm b<1 \end{cases}$$ $$\begin{cases}|\frac{-b-\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1 \\ |\frac{-b+\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1\end{cases}$$ $$a \pm b<1$$ A terceira condição ( ) pode ser recuperada adicionando as duas soluções anteriores, obtendo que, através de algumas considerações de sinal, se torna ? Ou estou faltando uma solução?$|a|<1$$a+b+a-b<2 \Rightarrow a<1$$|a|<1$

Meu palpite é que a equação característica da qual você está saindo é diferente da minha. Deixe-me prosseguir em algumas etapas para ver se concordamos.

Considere a equação

$$\lambda^2-\phi_1\lambda-\phi_2=0$$

Se é uma raiz da equação característica "padrão" e configurando z - 1 = λ , o display obtém reescrevendo o padrão da seguinte forma: 1 - ϕ 1 z - φ 2 z 2$z$$1-\phi_1 z-\phi_2 z^2=0$$z^{-1}=\lambda$

$$\begin{eqnarray*} 1-\phi_1 z-\phi_2 z^2&=&0\\ \Rightarrow z^{-2}-\phi_1 z^{-1}-\phi_2 &=&0\\ \Rightarrow \lambda^2-\phi_1\lambda -\phi_2 &=&0 \end{eqnarray*}$$ Assim, uma condição alternativa para a estabilidade de um$AR(2)$é que todas as raízes da primeira exibição estãodentrodo círculo unitário,$|z|>1 \Leftrightarrow |\lambda|=|z^{-1}|<1$.

$AR(2)$$AR(2)$

1. $\phi_2<1+\phi_1$
2. $\phi_2<1-\phi_1$
3. $\phi_2>-1$

$$\lambda_{1,2}=\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}$$

$AR(2)$$|\lambda|<1$$\lambda_i$

$$\begin{eqnarray*} -1<\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}&<&1\\ \Rightarrow -2<\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 \end{eqnarray*}$$ $\lambda_i$$\phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}<2$ $$\begin{eqnarray*} \phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2\\ \Rightarrow \sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 - \phi_1\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&(2 - \phi_1)^2\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&4 - 4\phi_1+\phi_1^2\\ \Rightarrow \phi_2&<&1 - \phi_1 \end{eqnarray*}$$ $\phi_2<1 + \phi_1$

$\lambda_i$$\phi_1^2<-4\phi_2$

$$\lambda_{1,2} = \phi_1/2\pm i\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2.$$ $$\lambda^2 = (\phi_1/2)^2 + \left(\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2\right)^2 = \phi_1^2/4-(\phi_1^2+4\phi_2)/4 = -\phi_2.$$ $|\lambda|<1$$-\phi_2<1$$\phi_2>-1$$\phi_2<1$ resulting from $\phi_2^2<1$ is redundant in view of $\phi_2<1+\phi_1$ and $\phi_2<1-\phi_1$.)

Plotting the stationarity triangle, also indicating the line that separates complex from real roots, we get

Produced in R using

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)