Minha pergunta diz respeito à tentativa de justificar um método amplamente usado, a saber, o valor esperado da Taylor Series. Suponha que temos uma variável aleatória com média positiva e variância . Além disso, temos uma função, digamos, .
Fazendo a expansão Taylor de torno da média, obtemos onde, como sempre, é st.
Se tomarmos uma expectativa, obteremos uma equação aproximada à qual as pessoas geralmente se referem como algo aparente (veja o sinal na primeira equação aqui)E log X ≈ log μ - 1 :
PERGUNTA : Estou interessado em provar que o valor esperado do termo restante é realmente insignificante, por exemplo, (ou, em outras palavras, ).
O que tentei fazer : assumindo que (que, por sua vez, significa em ), tentei dividir a integral em duas, cercando com algumas -vicinity : X → μ P μ ε N ε ∫ R p ( x ) ( x - μ ) 3
O primeiro pode ser delimitado devido ao fato de que e, portanto, não se incomoda. Mas com o segundo, temos dois fatos concordantes: por um lado, (como ). Mas, por outro lado, não sabemos o que fazer com . 1 / ξ 3 P ( | X - μ | > ε ) → 0 σ 2 → 0 1 / ξ 3
Outra possibilidade seria tentar usar o lema de Fatou, mas não consigo descobrir como.
Apreciará qualquer ajuda ou sugestão. Percebo que essa é uma pergunta muito técnica, mas preciso passar por isso para confiar no método "expectativa de Taylor". Obrigado!
PS Eu verifiquei aqui , mas parece que é um pouco de outra coisa.
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Respostas:
Você está certo em ser cético em relação a essa abordagem. O método da série Taylor não funciona em geral, embora a heurística contenha um núcleo de verdade. Para resumir a discussão técnica abaixo,
Como a resposta de Alecos indica, isso sugere que o método da série Taylor deve ser descartado se seus dados tiverem caudas pesadas. (Profissionais de finanças, estou olhando para você.)
Como observou Elvis, o principal problema é que a variação não controla momentos superiores . Para entender o porquê, vamos simplificar o máximo possível sua pergunta para chegar à ideia principal.
Como existem variáveis aleatórias com segundos momentos finitos e terceiros momentos infinitos, a resposta é enfaticamente não . Portanto, em geral, o método da série Taylor falha mesmo em polinômios de terceiro grau . A iteração desse argumento mostra que você não pode esperar que o método da série Taylor forneça resultados precisos, mesmo para polinômios, a menos que todos os momentos de sua variável aleatória sejam bem controlados.
O que devemos fazer então? Certamente, o método funciona para variáveis aleatórias limitadas cujo suporte converge para um ponto, mas essa classe é muito pequena para ser interessante. Suponha, em vez disso, que a sequência venha de uma família altamente concentrada que satisfaça (digamos)Xn
para cada e alguns C > 0 . Tais variáveis aleatórias são surpreendentemente comuns. Por exemplo, quando X n é a média empíricat>0 C>0 Xn
de boas variáveis aleatórias (por exemplo, iid e delimitadas), várias desigualdades de concentração implicam que X n satisfaz (1). Um argumento padrão (. Ver p 10 aqui ) limita o p th momentos para tais variáveis aleatórias:Yi Xn p
Portanto, para qualquer função analítica "suficientemente agradável" (veja abaixo), podemos limitar o erro E m na aproximação da série Taylor de m- termo usando a desigualdade do triângulof Em m
quando . Como a aproximação de Stirling dá p ! ≈ p p - 1 / 2 , o erro dos satisfaz em série de Taylor truncadasn>C/2 p!≈pp−1/2
Portanto, quando está fortemente concentrado ef é suficientemente bom, a aproximação da série de Taylor é realmente precisa. A desigualdade que aparece em (2) implica que f ( p ) ( μ ) / p ! = O ( p - p / 2 ) , de modo que, em particular, nossa condição exige que f seja inteiro . Isso faz sentido porque (1) não impõe nenhuma suposição de limite a X n .Xn f f(p)(μ)/p!=O(p−p/2) f Xn
Vamos ver o que pode dar errado quando é singularidade (após o comentário do whuber). Suponha que escolhemos f ( x ) = 1 / x . Se tomarmos X n a partir da N o r m um l ( 1 , 1 / n ) distribuição truncado entre zero e dois, então X n for suficientemente concentrada, mas E [ f ( x n ) ] = ∞ para cada nf f( x ) = 1 / x Xn N o r m a l (1,1 / n) Xn E[f(Xn)]=∞ n . Em outras palavras, temos uma variável aleatória limitada altamente concentrada e ainda assim o método da série Taylor falha quando a função tem apenas uma singularidade.
Algumas palavras sobre rigor. Acho melhor apresentar a condição que aparece em (2) como derivada, em vez de um deus ex machina necessário em um formato rigoroso de prova / teorema. Para tornar o argumento completamente rigoroso, observe primeiro que o lado direito em (2) implica que
pela taxa de crescimento dos momentos subgaussianos de cima. Assim, o teorema de Fubini fornece
O restante da prova prossegue como acima.
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Embora minha resposta não se aproxime do nível de sofisticação matemática das outras respostas, decidi publicá-la porque acredito que ela tem algo a contribuir - embora o resultado seja "negativo", como dizem.
Em um tom leve, eu diria que o OP é "avesso ao risco" (como a maioria das pessoas é, assim como a própria ciência), porque o OP requer uma condição suficiente para que a aproximação de expansão da série Taylor de 2ª ordem seja " aceitável". Mas é não uma condição necessária.
Em primeiro lugar, um pré-requisito necessário, mas não suficiente, para que o valor esperado do Restante seja de ordem inferior à variação do rv, conforme requer o OP, é que a série converja em primeiro lugar. Devemos apenas assumir convergência? Não.
A expressão geral que examinamos é
Como Loistl (1976) afirma, referenciando o livro "Calculus and Statistics" de Gemignani (1978, p. 170), uma condição para convergência da soma infinita é (uma aplicação do teste de razão para convergência)
Isso significa que, se nossa variável variar fora desse intervalo, a expansão de Taylor, tendo como centro de expansão, a média da variável irá divergir.
Portanto, para algumas formas funcionais, o valor de uma função em algum ponto de seu domínio é igual a sua expansão infinita de Taylor, não importa a que distância esse ponto esteja do centro de expansão. Para outras formas funcionais (logaritmo incluído), o ponto de interesse deve estar um pouco "próximo" do centro de expansão escolhido. No caso em que temos um rv, isso se traduz em uma restrição ao suporte teórico da variável (ou a um exame de sua faixa empiricamente observada).
Loitl, usando exemplos numéricos, também mostrou que aumentar a ordem da expansão antes do truncamento poderia piorar a situação da precisão da aproximação. Devemos observar que, empiricamente, as séries temporais de variáveis observadas no setor financeiro apresentam variabilidade maior que a exigida pela desigualdade. Então Loitl defendeu que a metodologia de aproximação das séries de Taylor deveria ser descartada inteiramente, em relação à teoria de escolha de portfólio.
A recuperação veio 18 anos depois de Hlawitschka (1994) . O valioso insight e resultado aqui foi, e cito
Então, onde isso nos deixa? No limbo, eu diria. Parece que, tanto na teoria quanto nos empíricos, a aceitabilidade da aproximação de Taylor de 2ª ordem depende criticamente de muitos aspectos diferentes do fenômeno específico em estudo e da metodologia científica empregada - depende dos pressupostos teóricos, das formas funcionais utilizadas, na variabilidade observada das séries ...
Mas vamos encerrar isso positivamente: hoje em dia, a energia do computador substitui muitas coisas. Assim, poderíamos simular e testar a validade da aproximação de 2ª ordem, para uma ampla gama de valores da variável a baixo custo, quer trabalhemos em um problema teórico ou empírico.
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Não é uma resposta real, mas um exemplo para mostrar que as coisas não são tão agradáveis e que hipóteses extras são necessárias para tornar esse resultado verdadeiro.
PS. Este exemplo não é um contra-exemplo da resposta de Nick? Quem está errado então?
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Esta não é uma resposta completa, apenas uma maneira diferente de chegar à aproximação de segunda ordem.
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