Você tentou mostrar um equilíbrio detalhado para a cadeia de Markov que é obtida considerando-se que uma transição da cadeia de Markov é a 'varredura de Gibbs', na qual você mostra cada componente, por sua vez, a partir de sua distribuição condicional. Para esta cadeia, o saldo detalhado não é satisfeito. O ponto é que cada amostragem de um componente em particular a partir de sua distribuição condicional é uma transição que satisfaz um equilíbrio detalhado. Seria mais preciso dizer que a amostragem de Gibbs é um caso especial de Metropolis-Hastings, um pouco generalizada, onde você alterna entre várias propostas diferentes. Mais detalhes a seguir.
As varreduras não satisfazem o equilíbrio detalhado
X1, X2
X1= 0X1= 1X2= 0130 0X2= 11313
X1( 0 , 0 )( 1 , 1 )( 0 , 0 )( 1 , 0 )( 1 , 1 )( 0 , 0 )14
No entanto, essa cadeia ainda possui uma distribuição estacionária correta. O saldo detalhado é uma condição suficiente, mas não necessária, para convergir para a distribuição de destino.
Os movimentos de componentes satisfazem o equilíbrio detalhado
( x1, x2)( y1, y2)x2≠ y2x2= y2
π( x1, x2) P r o b ( ( x1, x2) → ( y1, x2) ) = π( x1, x2)p ( y1∣ X2= x2) = π( x1, x2)π( y1, x2)∑zπ( z, x2)= π( y1, x2)π( x1, x2)∑zπ( z, x2)= π( y1, x2)p ( x1∣ X2= x2)= π( y1, x2) P r o b ( ( y1, x2) → ( x1, x2) ) .
Como os movimentos em termos de componentes são os movimentos do Metropolis-Hastings?
1( x1, x2)( y1, y2)
π( y1, x2)π( x1, x2).
P r o b (( y1, x2) → ( x1, x2) ))P r o b (( x1, x2) → ( y1, x2) ))= π( x1, x2)∑zπ( z, x2)π( y1, x2)∑zπ( z, x2)= π( x1, x2)π( y1, x2).
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