Quando é que alguma estatística mediana é suficiente?

Me deparei com uma observação no The Chemical Statistician de que uma mediana da amostra geralmente pode ser uma escolha para uma estatística suficiente, mas, além do caso óbvio de uma ou duas observações em que é igual à média da amostra, não consigo pensar em outro item não trivial e idiota. caso em que a mediana da amostra é suficiente.

No caso em que o suporte à distribuição não dependa do parâmetro desconhecido θ, podemos invocar o teorema de (Fréchet-Darmois-) Pitman-Koopman , a saber, que a densidade das observações é necessariamente da forma exponencial da família, para concluir que, uma vez que a estatística natural suficiente também é mínima o suficiente, então a mediana deve ser uma função de , o que é impossível: modificar um extremo nas observações , , modifica mas não modifica a mediana.S = n ∑ i = 1 T ( x i ) S x 1 , … , x n n > 2

$$\exp\{ \theta T(x) - \psi(\theta) \}h(x)$$ $$S=\sum_{i=1}^n T(x_i)$$ $S$$x_1,\ldots,x_n$$n>2$$S$

No caso alternativo, quando o suporte à distribuição depende do parâmetro desconhecido θ, podemos considerar o caso em que onde o conjunto indexado por θ é o suporte de . Nesse caso, o teorema da fatoração implica que é uma função 0-1 da mediana da amostra Adicionando uma observação adicional cujo valor é tal que não modifica a mediana da amostra, leva a uma contradição, pois pode estar dentro ou fora do conjunto de suporte, enquanto A θ f n ∏ i = 1 I A θ ( x i ) n ∏ i = 1 I A θ ( x i ) = I B n θ ( med ( x 1 : n

$$f(x|\theta) = h(x) \mathbb{I}_{A_\theta}(x) \tau(\theta)$$ $A_\theta$$f$ $$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i)$$ $$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i) = \mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))$$ $x_{n+1}$ $$\mathbb{I}_{B^{n+1}_\theta}(\text{med}(x_{1:n+1}))=\mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))\times \mathbb{I}_{A_\theta}(x_{n+1})$$