Estimador de probabilidade máxima para distribuições exponenciais mínimas

Estou preso em como resolver este problema.

Portanto, temos duas seqüências de variáveis ​​aleatórias, e para . Agora, e são distribuições exponenciais independentes com parâmetros e . No entanto, em vez de se observar e , observa-se, em vez e .Y i i = 1 , . . . , N X Y X u X Y Z $X_i$$Y_i$$i=1,...,n$$X$$Y$$\lambda$$\mu$$X$$Y$$Z$$W$

$Z=\min(X_i,Y_i)$ e $W=1$ se $Z_i=X_i$ e 0 se $Z_i=Y_i$ . I tem que encontrar-formas fechadas para os estimadores de probabilidade máxima de $\lambda$ e $\mu$ sobre a base de $Z$ e $W$ . Além disso, precisamos mostrar que esses são máximos globais.

Agora, eu sei que o mínimo de dois exponenciais independentes é ele próprio exponencial, com a taxa igual à soma das taxas, então sabemos que $Z$ é exponencial com o parâmetro $\lambda+\mu$ . Portanto, nosso estimador de probabilidade máxima é: $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$ .

Mas estou preso com aonde ir daqui. Eu sei que $W$ é uma distribuição de Bernoulli com o parâmetro $p=P(Z_i=X_i)$ , mas não sei como converter isso em uma declaração sobre um dos parâmetros. Por exemplo, o que o MLE $\bar{W}$ estimaria em termos de $\lambda$ e / ou $\mu$ ? Eu entendo que se $Z_i=X_i$ , então $\mu=0$ , mas estou tendo dificuldade em descobrir como chegar a qualquer declaração algébrica aqui.

UPDATE 1: Então me foi dito nos comentários para derivar a probabilidade para a distribuição conjunta de $Z$ e $W$ .

Então onde . Corrigir? Não sei de que outra forma derivar uma distribuição conjunta neste caso, uma vez que e não são independentes.P = P ( Z i = X i ) Z $f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$$p=P(Z_i=X_i)$$Z$$W$

Portanto, isso nos dá, , pela definição de acima. Mas e agora? Isso não me leva a lugar nenhum. Se eu seguir as etapas de cálculo da probabilidade, obtenho: (usando e como o tamanho da amostra para cada parte da mistura ...) W m $f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$$W$$m$$n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

Se tomar as derivadas parciais, isto diz-me que o meu MLE estimativas de e são apenas a média do 's condicional em . Isso é,μ Z $\lambda$$\mu$$Z$$W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

e

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

Como não tenho pontos suficientes para comentar, escreverei aqui. Acho que o problema que você publica pode ser visto da perspectiva da análise de sobrevivência, se você considerar o seguinte:

$X_i$ : verdadeiro tempo de sobrevivência,

$Y_i$ : tempo de ,

Ambos têm uma distribuição exponencial com e independentes. Então é o tempo de sobrevivência observado e o indicador de censura.Y Z i W $X$$Y$$Z_i$$W_i$

Se você está familiarizado com a análise de sobrevivência, acredito que possa começar a partir deste ponto.

Notas: Uma boa fonte: Análise dos dados de sobrevivência da DRCox e da D.Oakes

Abaixo está um exemplo: Supondo que o pdf da distribuição do tempo de sobrevivência seja . Então a função de sobrevivência é: . E a probabilidade do log é: S ( t ) = e - ρ $f(t)=\rho e^{-\rho t}$$S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

com somatório sobre pessoas sem censura ( ) e pessoas censuradas ( ), respectivamente.$u$$c$

Devido ao fato de que que h (t) é a função de perigo, isso pode ser escrito:$f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

E o estimador de probabilidade máxima de é:$\hat{\rho}$$\rho$

dWi=$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ que é o número total de casos de$d$$W_i=1$