Para a distribuição normal, existe um estimador imparcial do desvio padrão dado por:
A razão pela qual esse resultado não é tão conhecido parece ser que ele é em grande parte um objeto antigo e não uma questão de grande importância . A prova é abordada neste tópico ; tira proveito de uma propriedade chave da distribuição normal:
A partir daí, com um pouco de trabalho, é possível assumir a expectativa e identificando esta resposta como um múltiplo de , podemos deduzir o resultado para .
Isso me deixa curioso que outras distribuições têm um estimador imparcial de forma fechada do desvio padrão. Diferentemente do estimador imparcial da variância, isso é claramente específico da distribuição. Além disso, não seria fácil adaptar a prova para encontrar estimadores para outras distribuições.
As distribuições skew-normal têm algumas boas propriedades distributivas para suas formas quadráticas, das quais a propriedade de distribuição normal que usamos é efetivamente um caso especial (já que o normal é um tipo especial de skew normal), portanto, talvez não seja tão difícil assim. estenda esse método para eles. Mas, para outras distribuições, parece que é necessária uma abordagem totalmente diferente.
Existem outras distribuições pelas quais esses estimadores são conhecidos?
Respostas:
Embora isso não esteja diretamente conectado à questão, existe um artigo de 1968 de Peter Bickel e Erich Lehmann que afirma que, para uma família convexa de distribuições , existe um estimador imparcial de um q funcional ( F ) (para um tamanho de amostra n grande o suficiente) se e somente se q ( α F + ( 1 - α ) G ) for um polinômio em 0 ≤ α ≤ 1F q(F) n q(αF+(1−α)G) 0≤α≤1 . Este teorema não se aplica ao problema aqui porque a coleção de distribuições gaussianas não é convexa (uma mistura de gaussianos não é gaussiana).
Uma extensão do resultado da pergunta é que qualquer potência do desvio padrão pode ser estimada de maneira imparcial, desde que haja observações suficientes quando α < 0 . Isto segue do resultado 1σα α<0
queσé o parâmetro de escala (e único) para∑ n k = 1 (xi- ˉ x )2.
Esta configuração normal pode então ser estendida a qualquer família localização escala com uma variação finita σ 2 . De fato,
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Um caso provavelmente bem conhecido, mas, mesmo assim.U(0,θ) X(n)
Considere uma distribuição uniforme contínua . Dada uma amostra de iid, a estatística de pedido máximo, X ( n ) tem valor esperado
O desvio padrão da distribuição é
Assim, o estimador de σ = 1
é evidentemente imparcial para .σ
Isso generaliza para o caso em que o limite inferior da distribuição também é desconhecido, pois podemos ter um estimador imparcial para o Range e, em seguida, o desvio padrão é novamente uma função linear do Range (como também é essencialmente acima também).
Isso exemplifica o comentário de @ whuber, de que "a quantidade de viés é uma função de sozinha" (mais possivelmente de todas as constantes conhecidas) - para que possa ser corrigida de forma determinística . E este é o caso aqui.n
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