Solução para o exercício 2.2a.16 de "Estatísticas robustas: a abordagem baseada em funções de influência"

Na página 180 de Estatísticas robustas: A abordagem baseada nas funções de influência encontra-se a seguinte pergunta:

• 16: Mostre que para estimadores invariantes à localização sempre . Encontre o limite superior correspondente no ponto de ruptura da amostra finita , ambos no caso em que é ímpar ou é par. ε * n n$\varepsilon^*\leq\frac{1}{2}$$\varepsilon^*_n$$n$$n$

A segunda parte (após o período) é realmente trivial (dada a primeira), mas não consigo encontrar uma maneira de provar a primeira parte (sentença) da pergunta.

Na seção do livro referente a esta questão, encontra-se (p98):

Definição 2: O ponto de ruptura da amostra finita de um estimador na amostra é dado por:$\varepsilon^*_n$$T_n$$(x_l,\ldots, x_n)$

$$\varepsilon^*_n(T_n;x_i,\ldots,x_n):=\frac{1}{n}\max\{m:\max_{i_1,\ldots,i_m}\sup_{y_1,\ldots,y_m}\;|T_n(z_1,\ldots,z_n)|<\infty\}$$

onde a amostra $(z_1,\ldots,z_n)$ é obtida substituindo $m$ pontos de dados $x_{i_1},\ldots,x_{i_m}$ pelos valores arbitrários $y_1,\ldots,y_m.$

A definição formal de é executada em quase uma página, mas pode ser vista como Embora não seja definido explicitamente, um pode-se adivinhar que a localização invariável significa que deve atender a $\varepsilon^*$

Eu (tento) responder à pergunta do whuber no comentário abaixo. O livro define o estimador várias páginas, começando em p82, tento reproduzir as partes principais (acho que ele responderá à pergunta do whuber):$T_n$

Suponha que tenhamos observações unidimensionais que são independentes e distribuídas de forma idêntica (iid). As observações pertencem a algum espaço de amostra , que é um subconjunto da linha real (geralmente simplesmente é igual a , portanto as observações podem ter qualquer valor ) Um modelo paramétrico consiste em uma família de distribuições de probabilidade , no espaço de amostra, onde o parâmetro desconhecido pertence a algum espaço de parâmetro$(X_1,\ldots,X_n)$$\mathcal{H}$$\mathbb{R}$$\mathcal{H}$$\mathbb{R}$$F_\theta$$\theta$$\Theta$

...

Identificamos a amostra com sua distribuição empírica , ignorando a sequência das observações (como quase sempre é feito). Formalmente, , é dada por onde , é o ponto de massa uma em . Como estimadores de , consideramos as estatísticas com valor real . Em um sentido mais amplo, um estimador pode ser visto como uma sequência de estatísticas , uma para cada tamanho de amostra possível . Idealmente, as observações são feitas de acordo com um membro do modelo paramétrico $(X_1,\ldots,X_n)$$G_n$$G_n$$(1/n)\sum_{i=1}^n\Delta_{x_i}$$\Delta_{X}$$X$$\theta$$T_n=T_n(X_1,\ldots,X_n)=T_n(G_n)$$\{T_n,n\geq 1\}$$n$$\{F_\theta;\theta\in\Theta\}$ , mas a classe de todas as distribuições de probabilidade possíveis em é muito maior.$\mathcal{F}(\mathcal{H})$$\mathcal{H}$

Consideramos estimadores que são funcionais [ie, para todos os e ] ou que podem ser substituídos assintoticamente por funcionais. Isso significa que assumimos que existe um [onde o domínio de é o conjunto de todas as distribuições para o qual é definido], de modo que em probabilidade quando as observações são iid de acordo com a verdadeira distribuição in . Dizemos que$T_n(G_n)=T(G_n)$$n$$G_n$$T:\mbox{domain}(T)\rightarrow\mathbb{R}$$T$$\mathcal{F}(\mathcal{H})$$T$

$$T_n(X_1,\ldots,X_n)\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}T(G)$$ $G$$\mbox{domain}(T)$$T(G)$é o valor assintótico de em .$\{T_n;n\geq 1\}$$G$

...

Neste capítulo, sempre assumimos que os funcionais em estudo são consistentes com Fisher (Kallianpur e Rao, 1955): que significa que em o modelo em que o estimador mede assintoticamente a quantidade certa. A noção de consistência de Fisher é mais adequada e elegante para os funcionais do que a consistência usual ou imparcialidade assintótica.

$$T(F_\theta)=\theta\;\mbox{ for all } \theta\in\Theta$$ $\{T_n;n\geq 1\}$

Livros estatísticos mais antigos usavam "invariáveis" de uma maneira ligeiramente diferente do que se poderia esperar; a terminologia ambígua persiste. Um equivalente mais moderno é "equivariante" (consulte as referências no final deste post). No presente contexto, significa

para todos os reais .$c$

Para resolver a questão, suponha que tenha a propriedade de, para suficientemente grande , todo real e todo ,$T_n$$n$$c$$m \le \varepsilon^{*}n$

sempre que difere de por no máximo em no máximo coordenadas.$\mathbf Y$$\mathbf{X}$$c$$m$

(Essa é uma condição mais fraca do que a assumida na definição de limite de quebra. De fato, tudo o que realmente precisamos assumir é que, quando é suficientemente grande, a expressão " " tem algum valor garantido menor que em tamanho.)$n$$o(|c|)$$|c|/2$

A prova é por contradição. Suponha, portanto, que esse também seja equivalente e suponha . Então, para , suficientemente grande , é um número inteiro para o qual e . Para quaisquer números reais defina$T_n$$\varepsilon^{*} \gt 1/2$$n$$m(n) = \lfloor \varepsilon^{*}n\rfloor$$m(n)/n \le \varepsilon^{*}$$(n-m(n))/n \le \varepsilon^{*}$$a,b$

onde existem 's e ' s. Ao alterar ou menos das coordenadas, concluímos ambos$m(n)$ $a$$n-m(n)$ $b$$m(n)$

e

Para a desigualdade do triângulo afirma$c\gt 0$

A desigualdade estrita na penúltima linha é assegurada para suficientemente grande . A contradição que implica, , prova$n$$c \lt c$$\varepsilon^{*} \le 1/2.$

Referências

EL Lehmann, Teoria da estimativa pontual . John Wiley 1983.

No texto (capítulo 3, seção 1) e uma nota de rodapé que acompanha Lehmann escreve

Um estimador que satisfaça para todos os será chamado equivariável ...$\delta(X_1+a, \ldots, X_n+a) = \delta(X_1,\ldots,X_n)+a$$a$

Alguns autores chamam esses estimadores de "invariantes". Como isso sugere que o estimador permanece inalterado sob , parece preferível reservar esse termo para funções que satisfaçam para todo .$X_i^\prime = X_i+a$$u(x+a)=u(x)$$x,a$