Digamos que tenho duas variáveis aleatórias normais padrão e que são conjuntamente normais com o coeficiente de correlação .X 2
Qual é a função de distribuição de ?
Digamos que tenho duas variáveis aleatórias normais padrão e que são conjuntamente normais com o coeficiente de correlação .X 2
Qual é a função de distribuição de ?
Respostas:
De acordo com Nadarajah e Kotz, 2008 , Distribuição exata das máximas / mínimas de duas variáveis aleatórias gaussianas , o PDF deX= max ( X1, X2) parece ser
ondeϕ é o PDF e Φ é o CDF da distribuição normal padrão.
fonte
Seja o PDF normal bivariado para com marginais padrão e correlação . O CDF do máximo é, por definição, ( X , Y ) ρfρ ( X, Y) ρ
O PDF normal bivariado é simétrico (via reflexão) em torno da diagonal. Assim, aumentar a adiciona duas tiras de probabilidade equivalente ao quadrado semi-infinito original: o superior infinitesimalmente grosso é enquanto sua contrapartida refletida, o faixa direita, é .z + d z ( - ∞ , z ] × ( z , z + d z ]z z+ dz ( - ∞ , z] × ( z, z+ dz] ( z, z+ dz] × ( - ∞ , z]
A densidade de probabilidade da faixa da direita é a densidade de em vezes a probabilidade condicional total de que esteja na faixa, . A distribuição condicional de é sempre Normal, portanto, para encontrar essa probabilidade condicional total, precisamos apenas da média e variância. A média condicional de em é a previsão de regressão e a variação condicional é a variação "inexplicável" .z Y Pr ( Y ≤ zX z Y Y Y X ρ XPr ( Y≤ z|X= z) Y Y X ρ X var ( Y) - var ( ρ X) = 1 - ρ2
Agora que sabemos a média e a variância condicionais, o CDF condicional de dado pode ser obtido padronizando e aplicando o CDF normal :X Y ΦY X Y Φ
Avaliando esta em e e multiplicando pela densidade de em (um padrão de pdf normal ) dá a densidade de probabilidade do segundo (do lado direito) tiray= z X z ϕX= z X z ϕ
Dobrar isso explica a faixa superior equivalente, fornecendo o PDF do máximo como
Recapitulação
Eu pintei os fatores para significar suas origens: para as duas tiras simétricas; para as larguras infinitesimais da faixa; e para os comprimentos das tiras. O argumento deste último, , é apenas uma versão padronizada de condicional a .ϕ ( z ) Φ ( ⋯ ) 1 - ρ2 φ ( z) Φ ( ⋯ ) Y=zX=z1 - ρ1 - ρ2√z Y= z X=z
fonte