limiar de cálculo para classificador de risco mínimo?

Suponha que duas classes e C 2 tenham um atributo x e tenham distribuição N ( 0 , 0,5 ) e N ( 1 , 0,5 ) . se tivermos igual P anterior ( C 1 ) = P ( C 2 ) = 0,5 para a seguinte matriz de custo:$C_1$$C_2$$x$$\cal{N} (0, 0.5)$$\cal{N} (1, 0.5)$$P(C_1)=P(C_2)=0.5$

$L= \begin{bmatrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

por que é o limite para o classificador de risco (custo) mínimo?$x_0 < 0.5$

Este é o meu exemplo de observação que eu entendi errado (por exemplo, como esse limite é atingido?)

Edit 1: Acho que para os limiares da razão de verossimilhança podemos usar P (C1) / P (C2).

Editar 2: adiciono do Duda Book on Pattern algum texto sobre o limiar.

$$L= \begin{bmatrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \;\text{prediction} \\ \hspace{-1.9cm} \begin{matrix} c_1 & c_2 \end{matrix} \\ \hspace{-1.9cm}\text{truth}$$

$c_1$$c_2$$L_{12} = 0.5$$c_2$$c_1$$L_{21} = 1$$L_{11} = L_{22} = 0$$R$$k$

$$\begin{align} R(c_1|x) &= L_{11} \Pr (c_1|x) + L_{12} \Pr (c_2|x) = L_{12} \Pr (c_2|x) \\ R(c_2|x) &= L_{22} \Pr (c_2|x) + L_{21} \Pr (c_1|x) = L_{21} \Pr (c_1|x) \end{align}$$

Para minimizar o risco / perda, você prevê se o custo do erro ao fazê-lo (que é a perda da previsão incorreta multiplicada pela probabilidade posterior de que a previsão esteja errada ) é menor do que o custo de prever erroneamente a alternativa,$c_1$$L_{12} \Pr (c_2|x)$

$$\begin{align} L_{12} \Pr (c_2|x) &< L_{21} \Pr (c_1|x) \\ L_{12} \Pr (x|c_2) \Pr (c_2) &< L_{21} \Pr (x|c_1) \Pr (c_1) \\ \frac{L_{12} \Pr (c_2)}{L_{21} \Pr (c_1)} &< \frac{\Pr (x|c_1)}{ \Pr (x|c_2)} \end{align}$$ onde a segunda linha usa a regra de Bayes . Dadas probabilidades anteriores iguais obtém $\Pr (c_2|x) \propto \Pr (x|c_2) \Pr (c_2)$$\Pr (c_1) = \Pr (c_2) = 0.5$ $$\frac{1}{2} < \frac{\Pr (x|c_1)}{ \Pr (x|c_2)}$$

portanto, você escolhe classificar uma observação, pois é a razão de probabilidade que excede esse limite. Agora, não está claro para mim se você deseja conhecer o "melhor limite" em termos de razão de verossimilhança ou em termos do atributo . A resposta muda de acordo com a função de custo. Usando o gaussiano na desigualdade com e , , $c_1$$x$$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$$\mu_1 = 0$$\mu_2 = 1$

$$\begin{align} \frac{1}{2} &< \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu_1)^2 \right]}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu_2)^2 \right]} \\ \log \left(\frac{1}{2}\right) &< \log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right) -\frac{1}{2\sigma^2}(x-0)^2 - \left[ \log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right) -\frac{1}{2\sigma^2}(x-1)^2 \right] \\ \log \left(\frac{1}{2}\right) &< -\frac{x^2}{2\sigma^2} + \frac{x^2}{2\sigma^2} - \frac{2x}{2\sigma^2} + \frac{1}{2\sigma^2} \\ \frac{x}{\sigma^2} &< \frac{1}{2\sigma^2} - \log \left(\frac{1}{2}\right) \\ x &< \frac{1}{2} - \log \left(\frac{1}{2}\right) \sigma^2 \end{align}$$ portanto, um limite de previsão em termos de$x$pois a pesquisa só pode ser alcançada se as perdas de previsões falsas forem iguais, ou seja, porque somente então você poderá e você obtém o .$L_{12} = L_{21}$$\log \left( \frac{L_{12}}{L_{21}} \right) = \log (1) = 0$$x_0 < \frac{1}{2}$