PDF de uma soma de variáveis ​​dependentes

Esta é uma continuação direta da minha pergunta recente . O que eu realmente quero é a distribuição de , ondea,b,c,dsão uniformes em[0,1]. Agora, a distribuição de(a-d)2+4bcfoi computada com sucesso nosegmentomencionado, e vamos chamá-lo deh(x). A distribuição de$a+d+\sqrt{(a-d)^2+4bc}$$a,b,c,d$$[0,1]$$(a-d)^2+4bc$$h(x)$ é simplesmenteh(x2)⋅2x. A última etapa seria para calcular a distribuição da soma deX=um+deY=$\sqrt{(a-d)^2+4bc}$$h(x^2)\cdot 2x$$X=a+d$ maneira semelhante àanterior, masXeYnão são independentes, e agora estou preso e nem sei por onde começar.$Y=\sqrt{(a-d)^2+4bc}$$X$$Y$

Pode ser útil notar que e neste último os componentes sob a raiz (isto é,X2=(a+d)2eW=-4(ad-bc)) são fácil de calcular. Então, eu estou interessado na distribuição deX+$\sqrt{(a-d)^2+4bc}=\sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}$$X^2=(a+d)^2$$W=-4(ad-bc)$ , conhecendo as distribuições deXe$X+\sqrt{X^2+W}$$X$ .$\sqrt{X^2+W}$

Não vejo nenhuma alteração útil de variáveis. Pensei em usar probabilidade condicional, mas como posso encontrar ? Talvez eu esteja muito à frente e talvez precise voltar alguns passos.$f(\sqrt{X^2+W}\Big|X)$

É possível calcular algo assim?

A distribuição resultante deve ficar assim:

EDIT: A resposta aceita fornece a solução que eu estava procurando, no entanto, ainda estou curioso para derivar analiticamente. Quero dizer, na minha pergunta anterior, o CDF foi dado como uma integral:

$\int_0^4 F(\delta-y)g(y)dy$

com e g dados por funções simples. Teoricamente, isso poderia ser integrado usando caneta e papel. É claro que usar software é natural. No entanto, ainda estou curioso para responder aqui de forma fechada. resposta de lobos toca uma campainha, mas ... Uma convolução de três pdfs de uma função (relativamente) complicada?$F$$g$

Encontre o pdf de: $\quad A+D+\sqrt{(A-D)^2+4BC}, \quad$$A,B,C,D$$Uniform(0,1)$

$U = 4 BC$$U$$\quad g(u) = \frac{1}{4} \log \left(\frac{4}{u}\right) \quad \text{for } 0<u<4$

$(A,D,U)$$f(a,d,u)$

$Z = A+D+\sqrt{(A-D)^2+4BC}$$Z$$P(Z<z)$

onde estou usando a Probfunção do pacote mathStatica para o Mathematica para automatizar os detalhes.

$Z$$z$

Tudo feito.

$Z$

Cheque Monte Carlo

O diagrama a seguir compara uma aproximação empírica de Monte Carlo do pdf (azul ondulado) ao pdf teórico derivado acima (vermelho tracejado). Parece bem.

Logo após ler a resposta dos lobos, entendi que podia calcular a distribuição final desde o início, sem todas as etapas do ponto médio:

M[x_] := M[x] = Evaluate@FullSimplify@ Integrate[ Boole[a + d + Sqrt[(a - d)^2 + 4 b c] <= x], {a, 0, 1}, {b, 0, 1}, {c, 0, 1}, {d, 0, 1}] dá ao CDF e

m[x_] := m[x] = Evaluate@FullSimplify@D[M[x], x] fornece o PDF que funciona perfeitamente com minha simulação:

Isso usa diretamente a abordagem de uma resposta à minha pergunta anterior.