PDF de uma soma de variáveis ​​dependentes

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Esta é uma continuação direta da minha pergunta recente . O que eu realmente quero é a distribuição de , ondea,b,c,dsão uniformes em[0,1]. Agora, a distribuição de(a-d)2+4bcfoi computada com sucesso nosegmentomencionado, e vamos chamá-lo deh(x). A distribuição dea+d+(ad)2+4bca,b,c,d[0,1](ad)2+4bch(x) é simplesmenteh(x2)2x. A última etapa seria para calcular a distribuição da soma deX=um+deY=(ad)2+4bch(x2)2xX=a+d maneira semelhante àanterior, masXeYnão são independentes, e agora estou preso e nem sei por onde começar.Y=(ad)2+4bcXY

Pode ser útil notar que e neste último os componentes sob a raiz (isto é,X2=(a+d)2eW=-4(ad-bc)) são fácil de calcular. Então, eu estou interessado na distribuição deX+(ad)2+4bc=(a+d)24(adbc)X2=(a+d)2W=4(adbc) , conhecendo as distribuições deXeX+X2+WX .X2+W

Não vejo nenhuma alteração útil de variáveis. Pensei em usar probabilidade condicional, mas como posso encontrar ? Talvez eu esteja muito à frente e talvez precise voltar alguns passos.f(X2+W|X)

É possível calcular algo assim?

A distribuição resultante deve ficar assim: insira a descrição da imagem aqui

EDIT: A resposta aceita fornece a solução que eu estava procurando, no entanto, ainda estou curioso para derivar analiticamente. Quero dizer, na minha pergunta anterior, o CDF foi dado como uma integral:

04F(δy)g(y)dy

com e g dados por funções simples. Teoricamente, isso poderia ser integrado usando caneta e papel. É claro que usar software é natural. No entanto, ainda estou curioso para responder aqui de forma fechada. resposta de lobos toca uma campainha, mas ... Uma convolução de três pdfs de uma função (relativamente) complicada?Fg

corey979
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Respostas:

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Encontre o pdf de: A+D+(AD)2+4BC,A,B,C,DUniform(0,1)

U=4BCUg(u)=14log(4u)for 0<u<4

(A,D,U)f(a,d,u)

insira a descrição da imagem aqui

Z=A+D+(AD)2+4BCZP(Z<z)

insira a descrição da imagem aqui

insira a descrição da imagem aqui

onde estou usando a Probfunção do pacote mathStatica para o Mathematica para automatizar os detalhes.

Zz

insira a descrição da imagem aqui

Tudo feito.

Z

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Cheque Monte Carlo

O diagrama a seguir compara uma aproximação empírica de Monte Carlo do pdf (azul ondulado) ao pdf teórico derivado acima (vermelho tracejado). Parece bem.

insira a descrição da imagem aqui

wolfies
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Arrumado! Embora eu não tenha o mathStatica, consegui fazê-lo diretamente no Mathematica. Isso responde completamente à minha pergunta, mas ainda estou curioso para fazê-lo sem um computador, de maneira semelhante à minha pergunta anterior. Lá, whuber forneceu a integral explícita e teoricamente que poderia ser calculada usando uma caneta e um papel. É claro que o uso de software é natural, mas como devo proceder no caso atual?
Corey979
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Abramowitz e Stegun? ;)
wolfies
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Bem, você conhece as integrais que precisam ser avaliadas, portanto, é apenas uma questão de avaliá-las. Nos dias anteriores, tínhamos sistemas de álgebra computacional, quando confrontados com tarefas de integração desagradáveis ​​e complicadas fora do comum, normalmente se dirigia a tabelas de integrais como Abramowitz e Stegun.
wolfies
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Logo após ler a resposta dos lobos, entendi que podia calcular a distribuição final desde o início, sem todas as etapas do ponto médio:

M[x_] := M[x] = Evaluate@FullSimplify@ Integrate[ Boole[a + d + Sqrt[(a - d)^2 + 4 b c] <= x], {a, 0, 1}, {b, 0, 1}, {c, 0, 1}, {d, 0, 1}] dá ao CDF e

m[x_] := m[x] = Evaluate@FullSimplify@D[M[x], x] fornece o PDF que funciona perfeitamente com minha simulação:

insira a descrição da imagem aqui

Isso usa diretamente a abordagem de uma resposta à minha pergunta anterior.

corey979
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Sim - isso funciona muito bem aqui. Mas, curiosamente, NÃO parece funcionar para o seu problema original (mais simples). Ou seja, Integrate[ Boole[(a-d)^2 + 4 b c < x], {a,0,1}, {b,0,1}, {c,0,1}, {d,0,1}]retorna uma integral não avaliada.
wolfies