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Prove ou forneça um contra-exemplo:

Se ,Xn a.s. X(i=1nXi)1/n a.s. X

Minha tentativa :

FALSE: Suponha que possa assumir apenas valores negativos e suponhaXXnX n

ENTÃO , no entanto, mesmo para , não é estritamente negativo. Em vez disso, alterna negativo para positivo e negativo. Portanto, não converge quase certamente para .Xn a.s. Xn(i=1nXi)1/n(i=1nXi)1/nX

Esta é uma resposta razoável? Caso contrário, como posso melhorar minha resposta?

Lewkrr
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Xi deve ser estritamente positivo para que isso seja significativo.
precisa saber é o seguinte
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Obviamente, você precisa de para definir corretamente. Primeiro prove que converge para como (google "Cesaro mean" em Real Analysis e adapte o argumento). Em seguida, considere . Xi>0Gn=(i=1nXi)1/nAn=i=1nXn/nXLn=logGn
Zen
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O resultado da análise real necessário é esta: Se , então . Prova: para qualquer , existe um tal que , para cada . Portanto, . Portanto, se selecionarmos , , para cada . xnLi=1nxi/nLϵ>0n01|xnL|<ϵ/2nn0|i=1nxi/nL|i=1n0|xiL|/n+i=n0+1n|xiL|/n<n0max1in0|xiL|/n+ϵ/2n1>2n0max1in0|xiL|/ϵ|i=1nxi/nL|<ϵnn1
Zen
A intuição é que você está computando a média com mais e mais mais e mais próximos de , e eles acabam dominando o resultado. xiL
Zen

Respostas:

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Antes de provar algo de interesse, observe que quase certamente para todos não é uma condição necessária para que ambas as declarações façam sentido, o que a sequência determinística ilustra.Xi>0i(1,1,1,1,1,)

Além disso, a afirmação é de fato falsa em geral, como a seguinte sequência determinística prova: .(0,1,1,)

Agora, suponha que quase certamente para todos os , então a afirmação é verdadeira pelo seguinte argumento:Xi>0i

DefinaPela continuidade de , quase certamente. Assim, quase certamente por um resultado para Cesaro significa também comprovado nos comentários acima. Assim, pela continuidade de , quase com certeza.

Sn=1ni=1nlog(Xi).
xlog(x)log(Xn)log(X)Snlog(X)xexp(x)
(i=1nXi)1/nX,
ekvall
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Esta afirmação é falsa. Eu provo fornecendo um contra-exemplo.

Suponha que a sequência aleatória seja definida da seguinte forma:Xi

ZiN(0,1/i),iid,iNXi=1{i1}+1{i1}Zi,iN

Claramente, é (1) degenerado e (2) converge quase certamente para como pela forte lei de grandes números de Chebyshev. (Para ver isso, reescreva para .)XiX=1iZi=i0.5ZZN(0,1)

No entanto, como , . Consequentemente, , portanto, no limite, converge trivialmente para , ou seja, . X1=0Πi=1nXi=0,nN(Πi=1nXi)1/n=0,nN0limn(Πi=1nXi)1/n=0

Jeremias K
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Parece que você esqueceu o expoente . 1/n
whuber
Obrigado whuber, eu consertei :) Eu realmente deveria ler as coisas com mais cuidado ... Eu também provei que a declaração também não se aplica a porque eu não leu corretamente. Πi=1nXi1/i
Jeremias K
Obrigado. Todos esses cálculos parecem obscurecer uma idéia simples: se for diferente de zero, você não alterará o limite alterando qualquer número finito do para zero, mas isso tornará o produto zero e você terá uma contradição. Justo. No entanto, a menos que nos digam o contrário, declarações sobre produtos infinitos devem ser entendidas como declarações sobre somas infinitas dos logaritmos. Em particular, o interesse nesta questão se concentra no caso em que todo é quase certamente estritamente positivo . XXiXi
whuber
@whuber esse último comentário é interessante. É verdade que os limites dos produtos são por convenção, ou talvez por definição (?), Entendidos em termos dos logaritmos? Nesse caso, também alteraria a redação da minha resposta acima. Em particular, o último apelo à continuidade seria supérfluo.
Ekvall
@ Estudante O raciocínio da sua resposta está bom. Em aplicações estatísticas, é raro que alguém esteja olhando para esse limite de médias geométricas, a menos que já esteja pensando nos termos dos logaritmos.
whuber