O que é uma região de maior densidade (HDR)?

Na inferência estatística , problema 9.6b, é mencionada uma "Região de Maior Densidade (HDR)". No entanto, não encontrei a definição desse termo no livro.

Um termo semelhante é a Densidade Posterior Mais Alta (HPD). Mas isso não se encaixa nesse contexto, pois 9.6b não menciona nada sobre um anterior. E na solução sugerida , apenas diz que "obviamente é um HDR".$c(y)$

Ou o HDR é uma região que contém o (s) modo (s) de um pdf?

O que é uma região de maior densidade (HDR)?

Eu recomendo o artigo de Rob Hyndman, de 1996, "Computando e representando graficamente regiões de maior densidade" no The American Statistician . Aqui está a definição do HDR, extraída desse artigo:

Deixe- ser a função de densidade de uma variável aleatória . Então HDR é o subconjunto do espaço de amostra de modo que onde é a maior constante, de modo que X 100 ( 1 - α ) % R ( f α ) X R ( f α ) = { x : f ( x ) ≥ f α } , f α P ( X ∈ R ( f α ) ) ≥ 1 - α $f(x)$$X$$100(1-\alpha)\%$$R(f_\alpha)$$X$

$$R(f_\alpha) = \{x\colon f(x)\geq f_\alpha\},$$ $f_\alpha$ $$P\big(X\in R(f_\alpha)\big)\geq 1-\alpha.$$

A Figura 1 desse artigo ilustra a diferença entre o HDR de 75% (so ) e várias outras regiões de probabilidade de 75% para uma mistura de duas normais ( é o quantil, a média e o desvio padrão da densidade):c q q μ $\alpha=0.25$$c_q$$q$$\mu$$\sigma$

A idéia em uma dimensão é pegar uma linha horizontal e movê-la para cima (para ) até que a área acima e abaixo da densidade seja . Então o HDR é a projeção para o eixo dessa área. 1 - α R α$y=f_\alpha$$1-\alpha$$R_\alpha$$x$

Obviamente, tudo isso funciona com qualquer densidade, seja posterior Bayesiana ou outra.

Aqui está um link para o código R, que é o hdrcdepacote (e para o artigo sobre JSTOR).

Uma densidade posterior mais alta [intervalo] é basicamente o intervalo mais curto em uma densidade posterior para um determinado nível de confiança. Uma região de densidade mais alta é provavelmente a mesma idéia aplicada a qualquer densidade arbitrária, portanto não necessariamente uma distribuição posterior.

Se for o seu nível de confiança, você sempre poderá encontrar dois quantis , que fornecerão um intervalo de trabalho. Há um monte, porém, e todos eles têm comprimentos diferentes. Você quer o mais curto.q 1 - α / 2 + c q α / 2 - $1-\alpha$$q_{1-\alpha/2 + c}$$q_{\alpha/2 -c}$

Se a sua densidade é unimodal, então o intervalo mais curto vai acontecer nas duas quantiles e tal que .a b f ( a ) = f ( b $f(\cdot)$$a$$b$$f(a) = f(b)$