Como sugerido no título. Suponha que são variáveis aleatórias contínuas de iid com pdf . Considere o evento em que , , portanto é quando a sequência diminui pela primeira vez. Então, qual é o valor de ?
Tentei avaliar primeiro. Eu tenho Da mesma forma, obtive . À medida aumenta, o cálculo fica mais complicado e não consigo encontrar o padrão. Alguém pode sugerir como devo proceder?
probability
self-study
iid
Hao The Repolho
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[self-study]
tag e leia seu wiki .Respostas:
Se é uma sequência intercambiável de variáveis aleatórias e então se e somente se . Portanto, por simetria. Portanto, .{Xi}i≥1 N=min{n:Xn−1>Xn}, N≥n X1≤X2≤⋯≤Xn−1 Pr(N≥n)=Pr(X1≤X2≤⋯≤Xn−1)=1(n−1)!,(∗) E[N]=∑∞n=1Pr(N≥n)=e≈2.71828…
PS As pessoas perguntaram sobre a prova de . Como a sequência é intercambiável, deve ser que, para qualquer permutação , tenhamos Desde que nós temospossíveis permutações, segue o resultado.(∗) π:{1,…,n−1}→{1,…,n−1} Pr(X1≤X2≤⋯≤Xn−1)=Pr(Xπ(1)≤Xπ(2)≤⋯≤Xπ(n−1)). (n−1)!
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Conforme sugerido pelo Silverfish, estou postando a solução abaixo. E
Assim, .E[N]=∑∞i=1P[N≥i]=∑∞i=11(i−1)!=e
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Um argumento alternativo: existe apenas uma ordem do que está aumentando, fora dopossíveis permutações de . Estamos interessados em ordenações que aumentam até a penúltima posição e depois diminuem: isso requer que o máximo esteja na posição , e um dos outros esteja na posição final. Como existem maneiras de escolher um dos primeiros termos em nossa sequência ordenada e movê-lo para a posição final, então a probabilidade é:Xi n! X1,…,Xn n−1 n−1 Xi n−1 n−1
Nota , e portanto isso é consistente com os resultados encontrados pela integração.Pr(N=2)=2−12!=12 Pr(N=3)=3−13!=13 Pr(N=4)=4−14!=18
Para encontrar o valor esperado de , podemos usar:N
(Para tornar a soma mais óbvia, usei ; para os leitores não familiarizados com essa soma, faça a série de Taylor e substitua )k=n−2 ex=∑∞k=0xkk! x=1
Podemos verificar o resultado por simulação, aqui está um código em R:
Isso voltou
2.718347
, perto o suficiente para2.71828
me satisfazer.fonte
EDIT: Minha resposta está incorreta. Estou deixando como um exemplo de como é fácil interpretar uma pergunta aparentemente simples como essa.
Não acho que sua matemática esteja correta para o caso . Podemos verificar isso através de uma simulação simples:P[N=4]
Nos dá:
Alterar o
order
termo para 4 nos leva a:E 5:
Portanto, se confiarmos nos resultados da simulação, parece que o padrão é que . Mas isso também faz sentido, uma vez que o que você realmente está perguntando é qual é a probabilidade de que qualquer observação em um subconjunto de todas as suas observações seja a observação mínima (se estamos assumindo a identificação, então estamos assumindo a permutabilidade e, portanto, a ordem é arbitrária). ) Um deles deve ser o mínimo, e, na verdade, a questão é qual é a probabilidade de que qualquer observação selecionada aleatoriamente seja o mínimo. Este é apenas um processo binomial simples.P[N=X]=1x
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