Suponha que são variáveis ​​aleatórias do iid. Quando a sequência deverá diminuir pela primeira vez?

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Como sugerido no título. Suponha que são variáveis ​​aleatórias contínuas de iid com pdf . Considere o evento em que , , portanto é quando a sequência diminui pela primeira vez. Então, qual é o valor de ?X1,X2,,XnfX1X2XN1>XNN2NE[N]

Tentei avaliar primeiro. Eu tenho Da mesma forma, obtive . À medida aumenta, o cálculo fica mais complicado e não consigo encontrar o padrão. Alguém pode sugerir como devo proceder?P[N=i]

P[N=2]=f(x)F(x)dx=F(x)22|=12P[N=3]=f(x)xf(y)F(y)dydx=f(x)1F(x)22dx=F(x)F(x)3/32|=13
P[N=4]=18i
Hao The Repolho
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Esta é uma pergunta de um curso ou livro? Em caso afirmativo, adicione a [self-study]tag e leia seu wiki .
Silverfish
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Uma dica. Considere as fileiras, que devem ser permutadas aleatoriamente. Existemarranjos das fileiras . Existe apenas uma permutação na qual todos os estão aumentando. Para existem observações que não são as máximas, que podemos retirar e colocar no final para gerar uma sequência que aumenta até a penúltima posição e depois diminui. Portanto, a probabilidade disso é em ...? Isso deve classificá-lo com os , e que você encontrou e fornecer uma fórmula simples para generalizá-lo. A soma é bastante fácil. 1 , 2 , ... , n X i n 2 n - 1 n - 1 1 / 2 1 / 3 1 / 8n!1,2,,nXin2n1n11/21/31/8
Silverfish
(E se você não pode adivinhar o resultado da série você vai resumir para encontrar a média, talvez você deve executar uma simulação do que você vai reconhecer o primeiro par de casas decimais..)
Silverfish
É um problema do exame que fiz hoje. Obrigado pela dica, agora eu descobri como resolvê-lo.
21715 Hao The Cabbage
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stats.stackexchange.com/questions/51429/… é essencialmente uma duplicata. Embora se refira apenas a uma distribuição uniforme, é quase trivial mostrar que as duas perguntas são equivalentes. (Uma maneira: aplicar a transformação integral de probabilidade ao .)Xi
whuber

Respostas:

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Se é uma sequência intercambiável de variáveis ​​aleatórias e então se e somente se . Portanto, por simetria. Portanto, .{Xi}i1

N=min{n:Xn1>Xn},
NnX1X2Xn1
Pr(Nn)=Pr(X1X2Xn1)=1(n1)!,()
E[N]=n=1Pr(Nn)=e2.71828

PS As pessoas perguntaram sobre a prova de . Como a sequência é intercambiável, deve ser que, para qualquer permutação , tenhamos Desde que nós temospossíveis permutações, segue o resultado.()π:{1,,n1}{1,,n1}

Pr(X1X2Xn1)=Pr(Xπ(1)Xπ(2)Xπ(n1)).
(n1)!

zen
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2
Gosto disso - é um lembrete de que muitas vezes não precisamos encontrar o indivíduo para encontrar a média de Y e pode ser mais útil ir direto para . Pr(Y=y)Pr(Yy)
quer
+1 - mas isso não responde à pergunta, que supõe um número finito determinado de . No entanto, a técnica se aplica ao caso finito de uma maneira óbvia. Xi
whuber
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Um pouco confuso, não é? O PO menciona uma "sequência". Mas você está certo. A propósito, é intuitivo para você que o resultado seja "universal" (como é), no sentido de que não depende da distribuição dos (com distribuição idêntica) ? Xi
Zen
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Na verdade, a independência não é necessária. Permutabilidade é suficiente. O resultado é mais forte. Vou adicionar isso à minha resposta.
Zen
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É intuitivo que seja universal para variáveis contínuas . Uma maneira de tornar isso óbvio é reconhecer que o evento permanece inalterado após a aplicação da transformação integral de probabilidade, que a reduz ao caso em que as variáveis ​​têm uma distribuição uniforme comum.
whuber
8

Conforme sugerido pelo Silverfish, estou postando a solução abaixo. E

P[N=i]=P[X1X2Xi1>Xi]=P[X1X2Xi1]P[X1X2Xi1Xi]=1(i1)!1i!
P[Ni]=1P[N<i]=1(112!+12!13!++1(i2)!1(i1)!)=1(i1)!

Assim, .E[N]=i=1P[Ni]=i=11(i1)!=e

Hao The Repolho
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7

Um argumento alternativo: existe apenas uma ordem do que está aumentando, fora dopossíveis permutações de . Estamos interessados ​​em ordenações que aumentam até a penúltima posição e depois diminuem: isso requer que o máximo esteja na posição , e um dos outros esteja na posição final. Como existem maneiras de escolher um dos primeiros termos em nossa sequência ordenada e movê-lo para a posição final, então a probabilidade é:Xin!X1,,Xnn1n1Xin1n1

Pr(N=n)=n1n!

Nota , e portanto isso é consistente com os resultados encontrados pela integração.Pr(N=2)=212!=12Pr(N=3)=313!=13Pr(N=4)=414!=18

Para encontrar o valor esperado de , podemos usar:N

E(N)=n=2nPr(N=n)=n=2n(n1)n!=n=21(n2)!=k=01k!=e

(Para tornar a soma mais óbvia, usei ; para os leitores não familiarizados com essa soma, faça a série de Taylor e substitua )k=n2 ex=k=0xkk!x=1

Podemos verificar o resultado por simulação, aqui está um código em R:

firstDecrease <- function(x) {
    counter <- 2
    a <- runif(1)
    b <- runif(1)
    while(a < b){
        counter <- counter + 1
        a <- b
        b <- runif(1)
    }
    return(counter)
}

mean(mapply(firstDecrease, 1:1e7))

Isso voltou 2.718347, perto o suficiente para 2.71828me satisfazer.

Silverfish
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EDIT: Minha resposta está incorreta. Estou deixando como um exemplo de como é fácil interpretar uma pergunta aparentemente simples como essa.

Não acho que sua matemática esteja correta para o caso . Podemos verificar isso através de uma simulação simples:P[N=4]

n=50000
flag <- rep(NA, n)
order <- 3
for (i in 1:n) {
  x<-rnorm(100)
  flag[i] <- all(x[order] < x[1:(order-1)])==T
}
sum(flag)/n

Nos dá:

> sum(flag)/n
[1] 0.33326

Alterar o ordertermo para 4 nos leva a:

> sum(flag)/n
[1] 0.25208

E 5:

> sum(flag)/n
[1] 0.2023

Portanto, se confiarmos nos resultados da simulação, parece que o padrão é que . Mas isso também faz sentido, uma vez que o que você realmente está perguntando é qual é a probabilidade de que qualquer observação em um subconjunto de todas as suas observações seja a observação mínima (se estamos assumindo a identificação, então estamos assumindo a permutabilidade e, portanto, a ordem é arbitrária). ) Um deles deve ser o mínimo, e, na verdade, a questão é qual é a probabilidade de que qualquer observação selecionada aleatoriamente seja o mínimo. Este é apenas um processo binomial simples.P[N=X]=1x

Dalton Hance
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Você interpretou ligeiramente a pergunta, se minha leitura estiver correta - precisamos que o final seja qualquer coisa, exceto o máximo (não necessariamente o mínimo), enquanto o primeiro do deve estar em ordem crescente. um na posição é o máximo. Xnn1Xin1
Silverfish
Eu acho que é um pouco mais do que uma leve má interpretação. Você está correto, que eu estou incorreto.
quer