Imagine uma eleição em que pessoas façam uma escolha binária: votam a favor ou contra. O resultado é que m pessoas votam em A e, portanto, o resultado de A é p = m / n .
Se eu quiser modelar estas eleições, eu posso assumir que cada pessoa vota para Um independentemente com probabilidade , levando à distribuição binomial de votos: votos para A ~ B i n o m ( n , p ) . Essa distribuição tem média m = n p e variância n p ( 1 - p ) .
Eu também posso fazer outras suposições. Por exemplo, posso assumir que a probabilidade é ela própria uma variável aleatória proveniente de alguma distribuição (por exemplo, beta); isso pode levar a uma distribuição beta-binomial de votos para A. Ou posso assumir que as pessoas votam em grupos de k , onde cada grupo de k faz a mesma escolha e é A com probabilidade p . Isso levará a uma distribuição binomial com maior variação. Em todos esses casos, a variação da distribuição resultante é maior do que no esquema binomial mais simples.
Posso afirmar que a distribuição binomial tem a menor variação possível? Em outras palavras, essa afirmação pode ser, de alguma forma, precisa, por exemplo, especificando algumas condições razoáveis nas possíveis distribuições? Quais seriam essas condições?
Ou talvez haja alguma distribuição razoável que tenha menor variação?
Eu posso imaginar uma variação menor, por exemplo, quando todas as pessoas concordam com antecedência sobre como votarão e, portanto, os votos para A não são realmente uma variável aleatória, mas um número fixo m . Então a variação é zero. Ou talvez quase todos concordassem, mas poucas pessoas não concordaram, e então pode-se ter uma pequena variação em torno de m . Mas isso parece trapaça. Alguém pode ter uma variação menor que o binomial sem nenhum acordo prévio, isto é, quando cada pessoa vota em algum sentido aleatoriamente?
Respostas:
Não .
Você pode chorar, porque os maridos não estão votando aleatoriamente. Bem, eles estão - eles simplesmente estão intimamente ligados aos votos aleatórios de suas esposas. Se isso lhe incomoda, mude um pouco as coisas, pedindo que cada marido jogue dez moedas justas. Se todos os dez forem chefes, ele votará na esposa; caso contrário, ele vota contra ela. Você pode verificar se o resultado da eleição ainda tem uma pequena variação (embora diferente de zero), mesmo que todos os votos sejam imprevisíveis.
O cerne da questão está na covariância negativa entre dois blocos de votação, homens e mulheres.
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