Estimadores não enviesados de assimetria e curtose

A assimetria e curtose são definidas como:

ζ_{3} = \frac{E [(X - μ)^{3}]}{E [(X - μ)^{2}]^{3 / 2}} = \frac{μ_{3}}{σ^{3}}

$\zeta_3 = \frac{E[(X-\mu)^3]}{E[(X-\mu)^2]^{3/2}} = \frac{\mu_3}{\sigma^3}$

ζ_{4} = \frac{E [(X - μ)^{4}]}{E [(X - μ)^{2}]^{2}} = \frac{μ_{4}}{σ^{4}}

$\zeta_4 = \frac{E[(X-\mu)^4]}{E[(X-\mu)^2]^2} = \frac{\mu_4}{\sigma^4}$

As fórmulas a seguir são usadas para calcular a assimetria e curtose da amostra:

z_{3} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{Eu = 1}^{n} [(x_{Eu} - \bar{x})^{3}]}{(\frac{1}{n} \sum_{Eu = 1}^{n} [(x_{Eu} - \bar{x})^{2}])^{3 / 2}}

$z_3 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} [(x_i-\bar x)^3]}{(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_i-\bar x)^2])^{3/2}}$

z_{4} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{Eu = 1}^{n} [(x_{Eu} - \bar{x})^{4}]}{(\frac{1}{n} \sum_{Eu = 1}^{n} [(x_{Eu} - \bar{x})^{2}])^{2}}

$z_4 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} [(x_i-\bar x)^4]}{(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_i-\bar x)^2])^2}$

Minha pergunta é: esses estimadores são imparciais? Não sei se devo usar o desvio padrão imparcial ou o desvio no denominador.

Em geral, se tivermos uma função cujas variáveis são estimadores imparciais, podemos dizer que é um estimador imparcial? $f$ $f$

skewness unbiased-estimator kurtosis SiXUlm
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Respostas:

Veja as páginas 8-9 de http://modelingwithdata.org/pdfs/moments.pdf . Observe também http://www.amstat.org/publications/jse/v19n2/doane.pdf para obter algumas perspectivas úteis para colocar seu pensamento no estado de espírito certo.

Observe que o que você provavelmente está chamando de desvio padrão imparcial é um estimador enviesado do desvio padrão Por que o desvio padrão da amostra é um estimador enviesado de ? $\sigma$ , embora antes de obter a raiz quadrada seja um estimador imparcial de variância.

Uma função não linear de um estimador imparcial não será necessariamente imparcial ("quase certamente" não será). A direção do viés pode ser determinada por Desigualdade de Jensen https://en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequality se a função for convexa ou côncava.

Mark L. Stone
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Obrigado! Parece que as fórmulas dos estimadores "bons" são muito longas. Se eu usar outros mais simples, isso realmente causa problemas sérios? Btw, eu sempre entendi errado que std de amostra é um estimador UNBIASED de , isso também responde à minha segunda pergunta.

σ

$\sigma$

precisa saber é o seguinte

Você precisa decidir se deseja a melhor resposta que pode obter ou não. se você quiser a melhor resposta, pague o preço com complicações, se necessário.

Mark L. Stone

Viés não é necessariamente ruim. Você também deve considerar a variação. A proximidade do estimador com o estimador pode ser medida usando o desvio ao quadrado esperado de estimador para o estimador, que é igual à variação do estimador mais o viés quadrado do estimador. Em muitos casos, existe um "compromisso de desvio de variância", em que o aumento do desvio é mais do que compensado pela redução na variação. Eu apostaria que isso é verdade para as estimativas de curtose e assimetria. Alguém quer postar alguma pesquisa sobre isso?

Peter Westfall

existe uma troca nesse caso?

Xiaoxiong Lin 02/04/19

@filippo modelingwithdata.org/about_the_book.html

Mark L. Stone

Estimadores não enviesados ​​de assimetria e curtose

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