Função inversa de variância

Para um dado número constante (por exemplo, 4), é possível encontrar uma distribuição de probabilidade para , de modo que tenhamos ?$r$$X$$\mathrm{Var}(X)=r$

Considerando cuidadosamente os casos para : se , a distribuição é degenerada, mas pode ter alguma média. Ou seja, e \ Pr (X = c) = 0 para qualquer c \ neq \ mu . Portanto, podemos encontrar muitas distribuições possíveis para o X , mas elas são indexadas e completamente especificadas por \ mu \ in \ mathbb {R} .$r$$r=0$$X$$\Pr(X=\mu)=1$$\Pr(X=c)=0$$c \neq \mu$$X$$\mu \in \mathbb{R}$

Se , nenhuma distribuição poderá ser encontrada, pois .V a r ( X ) = E ( X - μ X ) 2 ≥ $r<0$$\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X-\mu_X)^2 \geq 0$

Para , a resposta vai depender do que informações adicionais se sabe sobre . Por exemplo, se é conhecida por ter médios , seguida por quaisquer e podemos encontrar uma distribuição com estes momentos, tomando . Esta não é uma solução única para o problema de combinar média e variância, mas é a única solução normalmente distribuída (e de todas as soluções possíveis, é a que maximiza a entropia, como Daniel aponta). Se você também quisesse corresponder, por exemplo, ao terceiro momento central , ou superior, seria necessário considerar uma gama mais ampla de distribuições de probabilidade.X X μ μ ∈ R r > 0 X ~ N ( μ , r $r>0$$X$$X$$\mu$$\mu \in \mathbb{R}$$r>0$$X \sim N(\mu, r)$

Suponhamos que tivéssemos algumas informações sobre a distribuição de vez de seus momentos. Por exemplo, se soubermos que segue uma distribuição Poisson, a solução única seria . Se sabemos que segue uma distribuição exponencial, novamente existe uma solução exclusiva , onde encontramos o parâmetro resolvendo .X X ~ P o i s s o n ( r ) X X ~ E x p o n e n t i a l ( $X$$X$$X \sim \mathrm{Poisson}(r)$$X$Var(X)=r=$X \sim \mathrm{Exponential}(\frac{1}{\sqrt{r}})$$\mathrm{Var}(X) = r = \frac{1}{\lambda^2}$

Em outros casos, podemos encontrar uma família inteira de soluções. Se sabemos que segue uma distribuição retangular (uniforme uniforme), podemos encontrar uma largura única para a distribuição resolvendo . Mas haverá toda uma família de soluções, parametrizadas por - as distribuições neste conjunto são todas traduções de uma para a outra. Da mesma forma, se é normal, qualquer distribuição funcionaria (portanto, temos todo um conjunto de soluções indexadas por , que novamente pode ser qualquer número real e, novamente, a família é toda tradução de cada um). E sew V a r ( X ) = r = w $X$$w$ X∼U(a,a+w)a∈RXX∼N(μ,r)μXX∼Gamma($\mathrm{Var}(X) = r = \frac{w^2}{12}$$X \sim U(a, a+w)$$a \in \mathbb{R}$$X$$X \sim N(\mu, r)$$\mu$$X$ segue uma distribuição gama; em seguida, usando a parametrização da escala de formas, podemos obter toda uma família de soluções, parametrizada por . Os membros desta família não são traduções um do outro. Para ajudar a visualizar como uma "família de soluções" pode parecer, aqui estão alguns exemplos de distribuições normais indexadas por e depois distribuições gama indexadas por , todas com variação igual a quatro, correspondendo ao exemplo em sua pergunta.θ>0μθr=$X \sim \mathrm{Gamma}(\frac{r}{\theta^2}, \theta)$$\theta > 0$$\mu$$\theta$$r=4$

Por outro lado, para algumas distribuições, pode ou não ser possível encontrar uma solução, dependendo do valor de . Por exemplo, se deve ser uma variável de Bernoulli, então para existem duas soluções possíveis porque existem duas probabilidades que resolvem a equação , e de fato essas duas probabilidades são complementares, isto é, . Para existe apenas a solução única , e para distribuição de Bernoulli não apresenta variação suficientemente alta.X 0 ≤ r < 0,25 X ~ B e r n o u l l i ( p ) p V um r ( X ) = r = p ( 1 - P ) p 1 + p 2 = 1 r = 0,25 p = 0,5 r > $r$$X$$0 \leq r \lt 0.25$$X \sim \mathrm{Bernoulli}(p)$$p$$\mathrm{Var}(X) = r = p(1-p)$$p_1 + p_2 = 1$$r=0.25$$p=0.5$$r>0.25$

Acho que também devo mencionar o caso . Também existem soluções para este caso, por exemplo, uma distribuição de Student com dois graus de liberdade.t$r = \infty$$t$

Código R para parcelas

require(ggplot2)

x.df  <- data.frame(x = rep(seq(from=-8, to=8, length=100), times=5),
    mu = rep(c(-4, -2, 0, 2, 4), each=100))
x.df$pdf <- dnorm(mean=x.df$mu, x.df$x)
ggplot(x.df, aes(x=x, y=pdf, group=factor(mu), colour=factor(mu))) + theme_bw() + 
    geom_line(size=1) + scale_colour_brewer(name=expression(mu), palette="Set1") +
    theme(legend.key = element_blank()) + ggtitle("Normal distributions with variance 4")

x.df  <- data.frame(x = rep(seq(from=0, to=20, length=1000), times=5),
    theta = rep(c(0.25, 0.5, 1, 2, 4), each=1000))
x.df$pdf <- dgamma(x.df$x, shape=4/(x.df$theta)^2, scale=x.df$theta)
ggplot(x.df, aes(x=x, y=pdf, group=factor(theta), colour=factor(theta))) + theme_bw() + 
    geom_line(size=1) + scale_colour_brewer(name=expression(theta), palette="Set1") +
    theme(legend.key = element_blank()) + ggtitle("Gamma distributions with variance 4") +
    coord_cartesian(ylim = c(0, 1)) 

Supondo que você queira dizer "é possível encontrar uma distribuição de probabilidade para ", a resposta é sim, pois você não especificou nenhum critério que deva satisfazer. De fato, há um número infinito de distribuições possíveis que satisfariam essa condição. Apenas considere uma distribuição Normal, . Você pode definir e pode assumir qualquer valor que você gosta - você terá, então, , conforme necessário.X N ( x ; μ , σ 2 ) σ 2 = r μ V a r [ X ] = $X$$X$$\mathcal{N}(x ; \mu, \sigma^2)$$\sigma^2 = r$$\mu$$Var[X] = r$

De fato, a distribuição Normal é bastante especial nesse sentido, pois é a distribuição de probabilidade máxima de entropia para uma determinada média e variância.

Essa questão pode ser interpretada de uma maneira que a torne interessante e não inteiramente trivial. Dado algo que se parece com uma variável aleatória, até que ponto é possível atribuir probabilidades a seus valores (ou mudar as probabilidades existentes) de tal maneira que sua variação seja igual a algum número pré-especificado ? A resposta é que todos os valores possíveis são permitidas, até um limite determinado pela gama de .r r ≥ 0 $X$$r$$r\ge 0$$X$

O interesse potencial em uma análise desse tipo reside na idéia de alterar uma medida de probabilidade, mantendo uma variável aleatória fixa, a fim de alcançar um fim específico. Embora essa aplicação seja simples, ela exibe algumas das idéias subjacentes ao teorema de Girsanov , um resultado fundamental nas finanças matemáticas.

Vamos reafirmar esta questão de maneira rigorosa e inequívoca. Suponha

é uma função mensurável definida em um espaço de medida com sigma-algebra . Para um determinado número real , quando é possível encontrar uma medida de probabilidade neste espaço para o qual ?S r > 0 P Var ( X ) = $\Omega$$\mathfrak{S}$$r \gt 0$$\mathbb{P}$$\text{Var}(X) = r$

Acredito que a resposta é que isso é possível quando . $\sup(X) - \inf(X) \gt 2\sqrt{r}$ Xsup(X)=∞inf(X)=-∞r (A igualdade pode valer se o supremo e o mínimo forem ambos alcançados: ou seja, eles realmente são o máximo e o mínimo de ) Quando ou , essa condição não impõe limite em e, em seguida, todos os valores não negativos da variação são possíveis.$X$$\sup(X)=\infty$$\inf(X)=-\infty$$r$

A prova é por construção. Vamos começar com uma versão simples, para cuidar dos detalhes e definir a idéia básica, e depois prosseguir para a construção real.

1. Seja na imagem de : isso significa que existe um para o qual . Defina a função definida para ser o indicador de : ou seja, se e quando .X ω x ∈ ohms X ( ω x ) = x P : S → [ 0 , 1 ] ω x P ( A ) = 0 ω x ∉ Um P ( A ) = 1 ω x ∈ $x$$X$$\omega_x\in\Omega$$X(\omega_x) = x$$\mathbb{P}:\mathfrak{S}\to [0,1]$$\omega_x$$\mathbb{P}(A) = 0$$\omega_x\notin A$$\mathbb{P}(A) = 1$$\omega_x\in A$

   Como , obviamente satisfaz os dois primeiros axiomas de probabilidade . É necessário mostrar que satisfaz o terceiro; ou seja, que é aditivo ao sigma. Mas isso é quase tão óbvio: sempre que é um conjunto finito ou infinitamente contável de eventos mutuamente exclusivos, então nenhum deles contém - nesse caso para todos os - ou exatamente um deles contém ; nesse caso, para um determinado e, caso contrário, para todos osP { E i , i = 1 , 2 , … } ω x P ( E i ) = 0 i ω x P ( E j ) = 1 j P ( E i ) = 0 i ≠ $\mathbb{P}(\Omega)=1$$\mathbb P$$\{E_i, i=1, 2, \ldots\}$$\omega_x$$\mathbb{P}(E_i)=0$$i$$\omega_x$$\mathbb{P}(E_j)=1$$j$$\mathbb{P}(E_i)=0$$i\ne j$. Em ambos os casos

   $$\mathbb{P}\left(\cup_i E_i\right) = \sum_i \mathbb{P}(E_i)$$

   porque ambos os lados são ou ambos .$0$$1$

   Desde concentra toda a probabilidade em , a distribuição de é concentrada em e devem ter zero variância.ω x X x $\mathbb{P}$$\omega_x$$X$$x$$X$

2. Seja dois valores no intervalo de ; isto é, e . De maneira semelhante à etapa anterior, defina uma medida como uma média ponderada dos indicadores de e . Usar pesos não-negativos e para a ser determinado. Assim como antes, descobrimos que sendo uma combinação convexa das medidas indicadoras discutidas em (1) - é uma medida de probabilidade. A distribuição de em relação a esta medida é uma Bernoulli X X ( ω 1 ) = x 1 X ( ω 2 ) = x 2 P $x_1 \le x_2$$X$$X(\omega_1) = x_1$$X(\omega_2) = x_2$$\mathbb{P}$$\omega_1$ 1 - p p p P X ( p ) x 2 - x 1 - x 1 ( p ) p ( 1 - p ) X ( x 2 - x $\omega_2$$1-p$$p$$p$$\mathbb{P}$$X$$(p)$distribuição que foi dimensionada por e deslocada por . Como a variação de uma distribuição de Bernoulli é , a variação de deve ser .$x_2-x_1$$-x_1$$(p)$$p(1-p)$$X$$(x_2-x_1)^2p(1-p)$

Uma conseqüência imediata de (2) é que qualquer para o qual exista no intervalo de e para o qualx 1 ≤ x 2 X 0 ≤ p < $r$$x_1 \le x_2$$X$$0 \le p \lt 1$

pode ser a variância de . Como , isso implica0 ≤ p ( 1 - P ) ≤ 1 /$X$$0 \le p(1-p) \le 1/4$

com igualdade mantendo se e somente se tiver um máximo e um mínimo.$X$

Por outro lado, se exceder esse limite de , nenhuma solução será possível, pois já sabemos que a variação de qualquer variável aleatória limitada não pode exceder um quarto da quadrado do seu alcance.( sup ( X ) - inf ( X ) ) 2 /$r$$(\sup(X)-\inf(X))^2/4$

Sim, é possível encontrar essa distribuição. De fato, você pode obter qualquer distribuição com uma variação finita e escalar para corresponder à sua condição, porque

Por exemplo, uma distribuição uniforme no intervalo tem variação: σ 2 = $[0,1]$ Portanto, uma distribuição uniforme no intervalo[0,

De fato, essa é uma maneira comum de adicionar parâmetros a algumas distribuições, como o Student t. Possui apenas um parâmetro, - graus de liberdade. Quando ν → ∞ a distribuição converge para um padrão normal. É em forma de sino e parece muito com o normal, mas tem caudas mais gordas. É por isso que é frequentemente usado como uma alternativa a uma distribuição normal quando as caudas são gordas. O único problema é que a distribuição gaussiana tem dois parâmetros. Então, vem a versão em escala do Student t, que às vezes é chamada de distribuição " t location scale" . Essa é uma transformação muito simples: ξ = t - $\nu$$\nu\to\infty$ , ondeμ,ssão localização e escala. Agora, você pode definir a escala para que a nova variávelξtenha qualquer variação necessária e tenha uma forma de distribuição t de Student.$\xi=\frac{t-\mu}{s}$$\mu,s$$\xi$