Estimador de máxima verossimilhança para distribuição binomial negativa

A questão é a seguinte:

Uma amostra aleatória de n valores é coletada de uma distribuição binomial negativa com o parâmetro k = 3.

1. Encontre o estimador de probabilidade máxima do parâmetro π.
2. Encontre uma fórmula assintótica para o erro padrão deste estimador.
3. Explique por que a distribuição binomial negativa será aproximadamente normal se o parâmetro k for grande o suficiente. Quais são os parâmetros dessa aproximação normal?

Meu trabalho foi o seguinte:
1. Sinto que é isso que se deseja, mas não tenho certeza se sou preciso aqui ou se posso levar isso adiante, dadas as informações fornecidas?

2. Eu acho que o seguinte é o que é pedido. Na parte final, sinto que preciso substituir $\hat{\pi}$ por $\dfrac{k}{x}$

   $$\ell``(\hat{\pi}) = -\dfrac{k}{\hat{\pi}^2} + \dfrac{x}{(1-\hat{\pi})^2}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{-\dfrac{1}{\ell``(\hat{\pi})}}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{\dfrac{\hat{\pi}^2}{k} - \dfrac{(1-\hat{\pi})^2}{x}}\\$$

3. Não tenho muita certeza de como provar isso e ainda estou pesquisando. Quaisquer dicas ou links úteis serão muito apreciados. Sinto que isso está relacionado ao fato de que uma distribuição binomial negativa pode ser vista como uma coleção de distribuições geométricas ou o inverso de uma distribuição binomial, mas não tenho certeza de como abordá-la.

Qualquer ajuda seria muito apreciada

1

$p(x) = {x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}$

$L(\pi;x_i) = \prod_{i=1}^{n}{x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}\\$

$\ell(\pi;x_i) = \sum_{i=1}^{n}[log{x_i-1 \choose k-1}+klog(\pi)+(x_i-k)log(1-\pi)]\\ \frac{d\ell(\pi;x_i)}{d\pi} = \sum_{i=1}^{n}[\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{(x_i-k)}{(1-\pi)}]$

Defina como zero,

$\frac{nk}{\pi}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i-nk}{1-\pi}$

$\therefore$ $\hat\pi=\frac{nk}{\sum_{i=1}^nx}$

2)

Para a segunda parte, você precisa usar o teorema de que , é a informação do fisher aqui. Portanto, o desvio padrão de será . Ou você pode chamá-lo de erro padrão, já que usa o CLT aqui.$\sqrt{n}(\hat\theta-\theta) \overset{D}{\rightarrow}N(0,\frac{1}{I(\theta)})$$I(\theta)$$\hat\theta$$[nI(\theta)]^{-1/2}$

Portanto, precisamos calcular as informações de Fisher para a distribuição binomial negativa.

$\frac{\partial^2 \log(P(x;\pi))}{\partial\pi^2}=-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2}$

$I(\theta)=-E(-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2})=\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi}$

Nota: para o pmf binomial negativo$E(x) =\frac{k}{\pi}$

Portanto, o erro padrão para é$\hat \pi$$[n(\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi})]^{-1/2}$

Simplifique que obtemos que obtemos$se(\pi)=\sqrt{\dfrac{\pi^2(\pi-1)}{kn}}$

3)

A distribuição geométrica é um caso especial de distribuição binomial negativa quando k = 1. Nota é uma distribuição geométrica$\pi(1-\pi)^{x-1}$

Portanto, a variável binomial negativa pode ser escrita como uma soma de k variáveis ​​aleatórias independentes e distribuídas de forma idêntica (geométrica).

Portanto, pela distribuição binomial negativa do CLT será aproximadamente normal se o parâmetro k for grande o suficiente