Basta saber se é possível encontrar o valor esperado de x se ele é normalmente distribuído, dado que está abaixo de um determinado valor (por exemplo, abaixo do valor médio).
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Basta saber se é possível encontrar o valor esperado de x se ele é normalmente distribuído, dado que está abaixo de um determinado valor (por exemplo, abaixo do valor médio).
Respostas:
Uma variável normalmente distribuída com μ média e variância σ 2 tem a mesma distribuição que σ Z + μ, onde Z é uma variável normal padrão. Tudo o que você precisa saber sobre Z é queX μ σ2 σZ+μ Z Z
As duas primeiras balas são apenas notação e definições: a terceira é a única propriedade especial das distribuições normais que precisaremos.
Deixe o "certo valor" ser . Antecipando a mudança de X para Z , definaT X Z
de modo a
Então, começando com a definição da expectativa condicional, podemos explorar sua linearidade para obter
O teorema fundamental do Cálculo afirma que qualquer integrante de um derivado é encontrado através da avaliação da função nos pontos finais: . Isso se aplica a ambas as integrais. Como ambos Φ e ϕ devem desaparecer em - ∞ , obtemos∫baF′(z)dz=F(b)−F(a) Φ ϕ −∞
É a média original menos um termo de correção proporcional à relação Invers Mills .
Como seria de esperar, a razão inversa de Mills para deve ser positiva e exceder - t (cujo gráfico é mostrado com uma linha vermelha pontilhada). Ele deve diminuir para 0 à medida que t cresce, pois o truncamento em Z = t (ou X = T ) não muda quase nada. Como t cresce muito negativo, a razão inversa de Mills deve se aproximar - t porque as caudas da distribuição normal diminuem tão rapidamente que quase toda a probabilidade na cauda esquerda está concentrada perto do seu lado direito (em t ).t −t 0 t Z=t X=T t −t t
Finalmente, quando está na média, t = 0, onde a razão inversa de moinhos é igual a √T=μ t=0 . Isso implica que o valor esperado deX, truncado em sua média (que é o negativo de umadistribuição semi-normal), é- √2/π−−−√≈0.797885 X vezes seu desvio padrão abaixo da média original.−2/π−−−√
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Em geral, deixe ter a função de distribuição F ( X ) .X F(X)
Temos, para , P ( X ≤ x | c 1 ≤ X ≤ c 2 )x∈[c1,c2]
Você pode obter casos especiais considerando, por exemplo,c1=-∞, que produzF(c1)=0.
Usando cdfs condicionais, você pode obter densidades condicionais (por exemplo, para X ∼ N ( 0 , 1 ) ), que podem ser usadas para expectativas condicionais.f(x|X<0)=2ϕ(x) X∼N(0,1)
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