Qual é a condição necessária para um estimador imparcial ser UMVUE?

8

De acordo com o teorema de Rao-Blackwell , se a estatística é suficiente e completa para e , então é um estimador imparcial de variância mínima uniforme (UMVUE).TθE(T)=θT

Eu estou querendo saber como justificar que um estimador imparcial é um UMVUE:

  1. se não for suficiente, pode ser um UMVUE?T
  2. se não estiver completo, pode ser um UMVUE?T
  3. Se não for suficiente ou completo, pode ser um UMVUE?T
Alex Brown
fonte
1
O último "se nãoT é suficiente ou completo" talvez seja "se T não é suficiente nem completo" (se você quer dizer que ambas as condições se aplicam simultaneamente)?
Richard Hardy
Na 2. Se T não está completa, então é um MVUE mas você precisa fazer a completude se você for para anexar a letra U a ele :)
JohnK
Uma condição necessária o suficiente para que um estimador imparcial (com um segundo momento finito) seja UMVUE é que ele não deve ser correlacionado com todo estimador imparcial igual a zero.
StubbornAtom

Respostas:

4

Na estimativa uniforme e não uniforme da variância mínima, quando não existem estatísticas completas suficientes por L. Bondesson, alguns exemplos de UMVUEs não são estatísticas suficientes completas, incluindo o seguinte:

Seja observações independentes de uma variável aleatória , onde e são desconhecidos e é gama distribuído com o parâmetro de forma conhecido e o parâmetro de escala conhecido . Então é o UMVUE de . No entanto, quando , não há estatística suficiente para .X1,,Xnμ σ Y k q ˉ X E ( X ) = μ + k q σ k 1 ( μ , σ )X=μ+σYμσYkθX¯E(X)=μ+kθσk1(μ,σ)

David R
fonte
3

Vamos mostrar que pode haver um UMVUE que não é uma estatística suficiente.

Antes de tudo, se o estimador obtém (digamos) o valor 0 em todas as amostras, então claramente T é um UMVUE de 0 , que pode ser considerado uma função (constante) de θ . Por outro lado, esse estimador T claramente não é suficiente em geral.T0T0θT

É um pouco mais difícil encontrar um UMVUE do parâmetro desconhecido "inteiro" θ (em vez de um UMVUE de uma função dele), de modo que Y não seja suficiente para θ . Por exemplo, suponha que os "dados" são dados apenas por um rv normal, X ~ N ( τ , 1 ) , onde τ R é desconhecido. Claramente, X é suficiente e completo para τ . Seja Y = 1 se X 0 e Y = 0 se X < 0YθYθXN(τ,1)τRXτY=1X0Y=0X<0, e deixe
; como sempre, denotamos por Φ e φ , respectivamente, o cdf e o pdf de N ( 0 , 1 ) . Portanto, o estimador Y é imparcial para θ = Φ ( τ ) e é uma função da estatística suficiente X completa . Portanto, Y é um UMVUE de θ =θ:=EτY=Pτ(X0)=Φ(τ)ΦφN(0,1)
Yθ=Φ(τ)XY .θ=Φ(τ)

Por outro lado, a função é contínua e aumenta estritamente em R , de 0 a 1 . Assim, a correspondência Rτ = Φ - 1 ( θ ) θ = Φ ( τ ) ( 0 , 1 ) é um bijeç~ao. Ou seja, podemos redefinir a parametrização do problema, de τ a θ , de maneira individual. Portanto, Y é um UMVUE de θ , não apenas para o parâmetro "antigo" τΦR01Rτ=Φ1(θ)θ=Φ(τ)(0,1)τθYθτ, mas também para o "novo" parâmetro . No entanto, Y não é suficiente para τ e, portanto, não é suficiente para θ . De fato, P τ ( X < - 1 | Y = 0 ) = P τ ( X < - 1 | X < 0 ) = P τ ( X < - 1 )θ(0,1)Yτθ comoτ; aqui usamos a equivalência assintótica conhecidaΦ(-τ)φ(-τ)/τcomoτ, que segue a regra l'Hospital. Portanto,Pτ(X<-1|Y=0)depende deτe, portanto, deθ

Pτ(X<1|Y=0)=Pτ(X<1|X<0)=Pτ(X<1)Pτ(X<0)=Φ(τ1)Φ(τ)φ(τ1)/(τ+1)φ(τ)/τφ(τ1)φ(τ)=eτ1/2
τΦ(τ)φ(τ)/ττPτ(X<1|Y=0)τθ, que mostra que não é suficiente para θ (enquanto Y é um UMVUE para θ ).YθYθ
Iosif Pinelis
fonte
Se o estimador sempre leva o valor 0 , como pode ser imparcial? T0
Xian
1
Por definição, é um estimador imparcial de uma função q ( θ ) do parâmetro θ se E θ T = q ( θ ) para todos os valores de θ . Portanto, se q ( θ ) = 0 para todo θ , é claro que T = 0 será um estimador imparcial desse q ( θ ) . E foi o que eu disse: que T = 0Tq(θ)θEθT=q(θ)θq(θ)=0θT=0q(θ)T=0é claramente um estimador imparcial da função zero constante do parâmetro.
Iosif Pinelis
OK, obrigado, eu tinha perdido o fato de que você estava "estimando" uma função constante!
Xian