Assimetria, curtose e quantos valores de desvio padrão são da média

Como é bem conhecido pela distribuição normal, 68% da massa de probabilidade está dentro de um desvio padrão da média, 95% dentro de dois desvios padrão e 99,7% dentro de 3 desvios padrão.

No entanto, tenho algumas distribuições empíricas que são leptocúrticas e assimétricas negativamente. Em tais circunstâncias, existe uma fórmula baseada em seus momentos de ordem superior para calcular quanto da massa de probabilidade está dentro de tantos desvios padrão da média?

Eu tenho uma medida e gostaria de dar uma noção de quão longe está do ponto médio (média ou alguma outra medida de tendência central).

Isso pode ser feito?

Você sempre pode calcular quantos valores de SDs estão a partir da média, apenas inserindo valores de amostra (valor média) / SD e, em seguida, classificando e contando.$-$

Fatos numéricos precisos, como você cita para o normal (gaussiano) em geral, dependem do conhecimento de uma ou mais funções de densidade, distribuição ou quantil, numericamente, se não analiticamente.

No entanto, não existem relações gerais disponíveis apenas para conhecer a assimetria ou curtose. A assimetria e curtose não definem a forma da distribuição em geral, pois os momentos mais altos também podem variar.

Aqui está uma resposta precisa que mostra que o desvio absoluto médio da média não está necessariamente relacionado à curtose.

Considere a família de distribuições de , onde Z tem a distribuição discreta$X = \mu + \sigma Z$$Z$

, com probabilidade (wp)$Z = -0.5$$.25$

, wp$= +0.5$$.25$

, wp .25 - θ /$= -1.2$$.25 - \theta/2$

, wp .25 - θ /$= +1.2$$.25 - \theta/2$

, wpθ/$= -\sqrt{0.155/\theta + 1.44}$$\theta/2$

, wpθ/2.$= +\sqrt{0.155/\theta + 1.44}$$\theta/2$

A família de distribuições de é indexada por três parâmetros: μ , σ e θ , com faixas ( - ∞ , + ∞ ) , ( 0 , + ∞ ) e ( 0 , 0,5 ) .$X$$\mu$$\sigma$$\theta$$(-\infty, +\infty)$$(0, +\infty)$$(0,.5)$

Nesta família, , V a r ( X ) = σ 2 , e o desvio médio absoluto da média é 0,5 σ .$E(X) = \mu$$Var(X) = \sigma^2$$0.5\sigma$

A curtose de é a seguinte:$X$

curtose .$= E(Z^4) = .5^4 * .5 + 1.2^4 * (.5 - \theta) + (0.155/\theta + 1.44)^2 * \theta$

Dentro desta família,

(i) a curtose tende ao infinito como .$\theta \rightarrow 0$

(ii) a distribuição dentro dos "ombros" (isto é, dentro da faixa ) é constante para todos os valores de curtose; são simplesmente os dois pontos μ ± σ / 2 , wp 0,25 cada. Isso fornece um contra-exemplo para uma interpretação da curtose, que afirma que a curtose maior implica movimento de massa para longe dos ombros, simultaneamente no intervalo entre os ombros e as caudas.$\mu \pm \sigma$$\mu \pm \sigma/2$$0.25$

$\mu \pm \sigma/2$$0.25$

$\mu \pm 1.2\sigma$$\mu \pm 0.5\sigma$$0.25$

$0.5\sigma$