Um possível erro em uma derivação de probabilidade condicional

A seguir, é derivada de uma densidade de um artigo que estou estudando atualmente. Desculpe pela má qualidade, é um artigo bastante antigo. Preciso esclarecer que tem a densidade exponencial padrão em , é uniforme em e eles são independentes. O coeficiente de correlação populacional é uma constante, é claro. e vêm da distribuição normal bivariada padrão, daí a representação trigonométrica, mas acredito que isso não desempenhe nenhum papel aqui. $R$ $(0,\infty)$ $U$ $(0,1)$ $\rho$ $X$ $Y$

O que não entendo é como o autor chega a essas conclusões para positivo ou negativo . Parece-me que a divisão por um número negativo e a não-negatividade de não são adequadamente levadas em consideração. Eu poderia estar enganado, é claro, então gostaria de receber alguns conselhos. Obrigado. $t$ $R$

probability self-study distributions conditional-probability cdf JohnK
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@ Xi'an Obrigado pelo seu comentário. Essa representação é derivada do fato de que

com

independentes. Como a soma tem variação

e a diferença

, então

tem a mesma distribuição que

X Y = [(X + Y)^{2} - (X - Y)^{2}] / 4

$XY = \left[ (X+Y)^2 -(X-Y)^2 \right]/4$

X - Y

$X-Y$

X + Y

$X+Y$

2 (1 + ρ)

$2(1+\rho)$

2 (1 - ρ)

$2(1-\rho)$

X Y

$XY$

onde

agora tem a distribuição normal padrão. Então o resultado segue colocando

\frac{1}{2} ((1 + ρ) Z_{1}^{2} - (1 - ρ) Z_{2}^{2})

$\frac{1}{2}\left((1+\rho)Z_1^2 -(1-\rho) Z_2 ^2 \right)$

Z_{i}

$Z_i$

Z_{1} = \sqrt{- 2 \log (U_{1}}) \cos (2 π U_{2})

$Z_1=\sqrt{-2\log(U_1})\cos(2\pi U_2)$

, o Box-Muller transformar e uitlizing que

tem a distribuição exponencial padrão

Z_{2} = \sqrt{- 2 \log (U_{1})} \sin (2 π U_{2})

$Z_2=\sqrt{-2\log(U_1)} \sin(2\pi U_2)$

- \log (U)

$- \log(U)$

JohnK

@ Xi'an Não há problema. Você diria que as etapas subsequentes estão corretas?

JohnK

Respostas:

Também posso estar enganado, mas não vejo dificuldade com a decomposição.

$t\ge 0$

\begin{aligned} P (R (\cos (π U) & + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) \\ + P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \leq 0) \\ = P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) \end{aligned}

$\begin{align*} P(R(\cos(\pi U)&+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ &=P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0) \end{align*}$

R

$R$

P (X Y \geq t) = P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) = P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, U \leq \cos^{- 1} (- ϱ) / π) = \int_{0}^{\cos^{- 1} (- ϱ) / π} P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t) d u

$P(XY\ge t) = P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\quad\qquad \\ \ \ \ = P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,U\le\cos^{-1}(-\varrho)/\pi)\\ = \int_0^{\cos^{-1}(-\varrho)/\pi} P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t)\,\text{d}u$

$t\le 0$

R (\cos (π U) + ϱ) \geq t

$R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t$

\cos (π U) + ϱ \geq 0

$\cos(\pi U)+\varrho\ge 0$

\begin{aligned} P (R (\cos (π U) & + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) \\ + P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \leq 0) \\ = P (\cos (π U) & + ϱ \geq 0) \\ + P (R (- \cos (π U) - ϱ) \leq - t, \cos (π U) + ϱ \leq 0) \\ = P (\cos (π U) & + ϱ \geq 0) \\ + P {R \leq t / (\cos (π U) + ϱ), U \geq \cos^{- 1} (- ϱ) / π} \\ = P (\cos (π U) & + ϱ \geq 0) \\ + \int_{\cos^{- 1} (- ϱ) / π}^{1} P {R \leq t / (\cos (π u) + ϱ} \end{aligned}

$\begin{align*} P(R(\cos(\pi U)&+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(-\cos(\pi U)-\varrho)\le -t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+P\left\{R\le t\big/(\cos(\pi U)+\varrho),U\ge\cos^{-1}(-\varrho)/\pi\right\}\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+\int_{\cos^{-1}(-\varrho)/\pi}^1 P\left\{R\le t\big/(\cos(\pi u)+\varrho\right\} \end{align*}$

Xi'an
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Acho que meu erro foi inverter o cosseno, não mudou as desigualdades. Muito obrigado pela sua resposta.

JohnK