Um possível erro em uma derivação de probabilidade condicional

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A seguir, é derivada de uma densidade de um artigo que estou estudando atualmente. Desculpe pela má qualidade, é um artigo bastante antigo. Preciso esclarecer que tem a densidade exponencial padrão em ( 0 , ) , U é uniforme em ( 0 , 1 ) e eles são independentes. O coeficiente de correlação populacional ρ é uma constante, é claro. X e Y vêm da distribuição normal bivariada padrão, daí a representação trigonométrica, mas acredito que isso não desempenhe nenhum papel aqui.R(0,)U(0,1)ρXY

O que não entendo é como o autor chega a essas conclusões para positivo ou negativo . Parece-me que a divisão por um número negativo e a não-negatividade de R não são adequadamente levadas em consideração. Eu poderia estar enganado, é claro, então gostaria de receber alguns conselhos. Obrigado.tR

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JohnK
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@ Xi'an Obrigado pelo seu comentário. Essa representação é derivada do fato de que com X - Y e X + Y independentes. Como a soma tem variação 2 ( 1 + ρ ) e a diferença 2 ( 1 - ρ ) , então X Y tem a mesma distribuição que 1XY=[(X+Y)2(XY)2]/4XYX+Y2(1+ρ)2(1ρ)XYondeZiagora tem a distribuição normal padrão. Então o resultado segue colocandoZ1=
12((1+ρ)Z12(1ρ)Z22)
ZieZ2=Z1=2log(U1)cos(2πU2), o Box-Muller transformar e uitlizing que-log(U)tem a distribuição exponencial padrãoZ2=2log(U1)sin(2πU2)log(U)
JohnK
@ Xi'an Não há problema. Você diria que as etapas subsequentes estão corretas?
JohnK

Respostas:

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Também posso estar enganado, mas não vejo dificuldade com a decomposição.

t0

P(R(cos(πU)+ϱ)t,cos(πU)+ϱ0)+P(R(cos(πU)+ϱ)t,cos(πU)+ϱ0)=P(R(cos(πU)+ϱ)t,cos(πU)+ϱ0)
R
P(XYt)=P(R(cos(πU)+ϱ)t,cos(πU)+ϱ0)   =P(R(cos(πU)+ϱ)t,Ucos1(ϱ)/π)=0cos1(ϱ)/πP(R(cos(πU)+ϱ)t)du

t0

R(cos(πU)+ϱ)t
cos(πU)+ϱ0
P(R(cos(πU)+ϱ)t,cos(πU)+ϱ0)+P(R(cos(πU)+ϱ)t,cos(πU)+ϱ0)=P(cos(πU)+ϱ0)+P(R(cos(πU)ϱ)t,cos(πU)+ϱ0)=P(cos(πU)+ϱ0)+P{Rt/(cos(πU)+ϱ),Ucos1(ϱ)/π}=P(cos(πU)+ϱ0)+cos1(ϱ)/π1P{Rt/(cos(πu)+ϱ}
Xi'an
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Acho que meu erro foi inverter o cosseno, não mudou as desigualdades. Muito obrigado pela sua resposta.
JohnK