Prove / refute

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Prove / refute E[1A|Ft]=0 or 1 a.s. E[1A|Fs]=E[1A|Ft] a.s.


Dado um espaço de probabilidade filtrado (Ω,F,{Fn}nN,P) , deixar AF .

Suponha

tN s.t. E[1A|Ft]=1 a.s.
Segue-se que
E[1A|Fs]=E[1A|Ft] a.s. s>t ?
E sobre s<t ?

E se em vez

tN s.t. E[1A|Ft]=0 a.s. ?
Ou se
E[1A|Ft]=p a.s. for some p(0,1) ?

O que eu tentei:


Se , então E [ 1 A ] = 1 , que é o mesmo que 1 A = 1 (quase certamente). Nesse caso, E [ 1 A | F s ] = 1 (quase certamente) para cada s .E[1A|Ft]=1E[1A]=11A=1E[1A|Fs]=1s

Da mesma forma, se , então E [ 1 A ] = 0 , que é o mesmo que 1 A = 0 (quase certamente). Nesse caso, E [ 1 A | F s ] = 0 (quase certamente) para cada s .E[1A|Ft]=0E[1A]=01A=0E[1A|Fs]=0s

Se , para uma constante p ( 0 , 1 ) , então temosE[1A|Ft]=pp(0,1)

. Isso pode falhar se s > t .E[1A|Fs]=E[E[1A|Ft]|Fs]=E[p|Fs]=ps>t

Como alternativa para case:=p

Seja uma variável aleatória mensurável delimitada F t .FFt

E[1AF]=E[E[1AF|Ft]]=E[FE[1A|Ft]]

=E[pF]=pE[F]=E[1A]E[F]

significando que e F são independentes. Em outras palavras, σ ( A ) e F t são independentes. Portanto, σ ( A ) e F s também são independentes se s < te, portanto, E [ 1 A | F s ] = E [ 1 A ] = p . Isso pode falhar se s > t .1AFσ(A)Ftσ(A)Fss<tE[1A|Fs]=E[1A]=ps>t

Eu acho que a idéia é que uma constante é tanto independente de e F s -mensurávelFsFs .

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Respostas:

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Seu argumento parece ser válido, mas você começa assumindo que . No entanto, a pergunta afirma que E [ 1 A | F t ] { 0 , 1 } , o que eu consideraria como a variável aleatória E [ 1 A | F t ] aceita valores no conjunto { 0 , 1 }, isto é, E [ 1 A | FE[1A|Ft]=1E[1A|Ft]{0,1}E[1A|Ft]{0,1} ondeB F t . A propriedade definidora dessa expectativa condicional é queF 1 B d P =F 1 A d P para todos osF F t . Em particular, tomarF=Bleva aP(B)=P(AB), a partir do qual podemos concluir queBAE[1A|Ft]=1BBFtF1BdP=F1AdPFFtF=BP(B)=P(AB)BA(exceto possivelmente em um conjunto de probabilidade zero). No entanto, também sabemos (como no argumento que você escreveu) que ou seja, P ( A ) = P ( B ) , então a única conclusão possível é que A = B (exceto possivelmente para um conjunto de probabilidade zero).E[E[1A|Ft]]=E[1B]P(A)=P(B)A=B

Para s>t , , então a lei da torre para expectativas condicionais implica que E [ 1 A | F t ] = E [ E [ 1 A | F t ] | M s ] . Mas E [ 1 A | F t ] = 1 A , então E [ 1 A | F s ] =FtFsE[1A|Ft]=E[E[1A|Ft]|Fs]E[1A|Ft]=1A . Portanto, todas as expectativas condicionais para s > t são iguais (a 1 A ). Para s < t , se A F s , ainda teremos E [ 1 A | M s ] = 1 Uma . Por outro lado, se voltarmos a um tempo em que A não está em F s , não creio que algo possa ser dito sobre E [ 1 A | M s ]E[1A|Fs]=1As>t1As<tAFsE[1A|Fs]=1AAFsE[1A|Fs]em geral. Para um exemplo concreto, veja este artigo , Figura 1. Tomando , por exemplo, fornece a sequência de expectativas condicionais E [ 1 A | F 0 ] = 1A={ω2}F2F1,E[1A| F1]=1E[1A|F0]=181Ω,E[1A| F2]=1{ω2},E[1A| F3]=1{ω2}.E[1A|F1]=121{ω1,ω2}E[1A|F2]=1{ω2}E[1A|F3]=1{ω2}

S. Catterall Restabelece Monica
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Obrigado S. Catterall. Como você sabe 1 ? 2 E [ 1 A | F t ] = 1 A ? Também vai editar a pergunta. Desculpe por qualquer inconveniente. Vou usar algumas das suas idéias para ediçãoP(B)=P(AB)BAE[1A|Ft]=1A
BCLC
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Deixe-me tentar resumir em linguagem natural; uma filtragem corresponde a uma subdivisão cada vez mais fina do espaço de resultado, e a expectativa condicional do evento Wrt elementos sucessivos da filtragem ("à medida que mais informações são disponibilizadas") tornam-se mais altos em torno do evento (no estado inicial da informação F 0 é apenas a distribuição uniforme). O tempo de parada é a superfície do nível estocástico definido do processo (no artigo, a variável de resultado é binária e o valor 0 foi escolhido). AF00
Ocramz 18/11/2015
@ocramz e S. Catterall, terminaram a edição. Como é pls? ^ - ^
BCLC
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Nesta figura, se estamos medindo o evento , mas o processo de amostra termina em uma configuração ω i que não pertence a A , A se torna efetivamente "incognoscível" (medida 0 ). Esta descrição está correta? Além disso, como as expectativas condicionais em tempos consecutivos se comportam me lembram o processo iterativo de Bayes, existe uma conexão entre esses conceitos? @S. CatterallAωiAA0
ocramz
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Em resposta às perguntas do seu primeiro comentário: se então, porque B é uma união disjunta de A B e A cB , devemos ter P ( A cB ) = 0 , o que significa que B A como agora, da mesma maneira, podemos usar P ( A ) = P ( B ) para concluir queP(B)=P(AB)BABAcBP(AcB)=0BAP(A)=P(B) comoA=BFt
S. Catterall Reintega Monica