Prove / refute E[ 1UMA| Ft] = 0 ou 1 a.s. ⇒ E [ 1UMA| Fs] = E[ 1UMA| Ft] como
Dado um espaço de probabilidade filtrado ( Ω , F, { Fn}n ∈ N, P ) , deixar A ∈ F .
Suponha
∃ t ∈ N S.T. E [ 1UMA| Ft] = 1 a.s.
Segue-se que
E[ 1UMA| Fs] = E[ 1UMA| Ft] Como ∀ s > t ?
E sobre
∀ s < t ?
E se em vez
∃ t ∈ N S.T. E [ 1UMA| Ft] = 0 a.s. ?
Ou se
E[ 1UMA| Ft]=p a.s. for some p∈(0,1) ?
O que eu tentei:
Se , então E [ 1 A ] = 1 , que é o mesmo que 1 A = 1 (quase certamente). Nesse caso, E [ 1 A | F s ] = 1 (quase certamente) para cada s .E[1A|Ft]=1E[1A]=11A=1E[1A|Fs]=1s
Da mesma forma, se , então E [ 1 A ] = 0 , que é o mesmo que 1 A = 0 (quase certamente). Nesse caso, E [ 1 A | F s ] = 0 (quase certamente) para cada s .E[1A|Ft]=0E[1A]=01A=0E[1A|Fs]=0s
Se , para uma constante p ∈ ( 0 , 1 ) , então temosE[1A|Ft]=pp∈(0,1)
. Isso pode falhar se s > t .E[1A|Fs]=E[E[1A|Ft]|Fs]=E[p|Fs]=ps>t
Como alternativa para case:=p
Seja uma variável aleatória mensurável delimitada F t .FFt
E[1A⋅F]=E[E[1A⋅F|Ft]]=E[F⋅E[1A|Ft]]
=E[p⋅F]=pE[F]=E[1A]⋅E[F]
significando que e F são independentes. Em outras palavras, σ ( A ) e F t são independentes. Portanto, σ ( A ) e F s também são independentes se s < te, portanto, E [ 1 A | F s ] = E [ 1 A ] = p . Isso pode falhar se s > t .1AFσ(A)Ftσ(A)Fss<tE[1A|Fs]=E[1A]=ps>t
Eu acho que a idéia é que uma constante é tanto independente de e F s -mensurávelFsFs .