Desenhando amostras de uma distribuição normal multivariada sujeita a restrições quadráticas

Gostaria de desenhar com eficiência amostras de sujeitas à restrição de que .$x \in \mathbb{R}^d$$\mathcal{N}(\mu, \Sigma)$$||x||_2 = 1$

A resolução formal desse problema primeiro requer uma definição adequada de um

" $\mathcal{N}_d(μ,Σ)$ distribuição sujeita à restrição de que $||x||^2=1$ "

A maneira natural é definir a distribuição de condicional a . E para aplicar isso condicional ao caso . Se usarmos coordenadas polares , o jacobiano da transformação é Portanto, a densidade condicional da distribuição de| | X | | = ϱ ϱ = 1 x 1 = ϱ cos ( θ 1$X\sim\mathcal{N}_d(μ,Σ)$$||X||=\varrho$$\varrho=1$ ϱd-

$$\eqalign{ x_1&=\varrho\cos(\theta_1)\qquad&\theta_1\in[0,\pi]\\ x_2&=\varrho\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)\qquad&\theta_2\in[0,\pi]\\ &\vdots\\ x_{d-1}&=\varrho \left( \prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i) \right) \cos(\theta_{d-1})\qquad&\theta_{d-1}\in[0,2\pi]\\ x_{d}&=\varrho\prod_{i=1}^{d-1}\sin(\theta_i) }$$ θ=(θ1,…,θd-1 $$\varrho^{d-1}\prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i)^{d-1-i}$$ $\mathbf{\theta}=(\theta_1,\ldots,\theta_{d-1})$ dado é f ( q | ρ ) α exp - $\varrho$ $$f(\mathbf{\theta}|\varrho) \propto \exp\frac{-1}{2}\left\{(x(\theta,\varrho)-\mu)^T\Sigma^{-1}(x(\theta,\varrho)-\mu) \right\} \prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i)^{d-1-i}$$

Conclusão: Essa densidade difere da simples aplicação da densidade Normal a um ponto na esfera unitária por causa do jacobiano.

O segundo passo é considerar a densidade de destino e projete um algoritmo de Monte Carlo da cadeia de Markov para explorar o espaço de parâmetros . Minha primeira tentativa seria em um amostrador de Gibbs, inicializado no ponto na esfera mais próxima de , ou seja,e procedendo um ângulo de cada vez, da maneira Metropolis-in-Gibbs: [0,π] d - 2 ×[0,2π]μ

$$f(\mathbf{\theta}|\varrho=1) \propto \exp\frac{-1}{2}\left\{(x(\theta,1)-\mu)^T\Sigma^{-1}(x(\theta,1)-\mu) \right\} \prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i)^{d-1-i}$$ $[0,\pi]^{d-2}\times[0,2\pi]$$\mu$$\mu/||\mu||$

1. Gere (onde as somas são calculadas módulo ) e aceite esse novo valor com probabilidade else$\theta_1^{(t+1)}\sim\mathcal{U}([\theta_1^{(t)}-\delta_1,\theta_1^{(t)}+\delta_1])$$\pi$θ ( t + 1 ) 1 =θ ( t ) $$\dfrac{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t)},...|\varrho=1)}{f(\theta_1^{(t)},\theta_2^{(t)},...|\varrho=1)}\wedge 1$$ $\theta_1^{(t+1)}=\theta_1^{(t)}$
2. Gere (onde as somas são calculadas módulo ) e aceite esse novo valor com probabilidade maisπ f ( θ ( $\theta_2^{(t+1)}\sim\mathcal{U}([\theta_2^{(t)}-\delta_2,\theta_2^{(t)}+\delta_2])$$\pi$θ ( t + 1 ) 2=θ ( t ) $$\dfrac{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t+1)},\theta_3^{(t)},...|\varrho=1)}{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t)},\theta_3^{(t)},...|\varrho=1)}\wedge 1$$ $\theta_2^{(t+1)}=\theta_2^{(t)}$
3. $\ldots$
4. Gere (onde as somas são calculadas no módulo ) e aceite esse novo valor com probabilidade outro2 π f ( θ ( t + 1 ) 1 , θ ( t + 1 ) 2 , $\theta_{d-1}^{(t+1)}\sim\mathcal{U}([\theta_{d-1}^{(t)}-\delta_{d-1},\theta_{d-1}^{(t)}+\delta_{d-1}])$$2\pi$ $$\dfrac{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t+1)},...,\theta_{d-1}^{(t+1)}|\varrho=1)}{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t+1)},...,\theta_{d-1}^{(t)}| \varrho=1)}\wedge 1$$ $\theta_{d-1}^{(t+1)}=\theta_{d-1}^{(t)}$

As escalas , , , podem ser dimensionadas com base nas taxas de aceitação das etapas, na direção de uma meta ideal de .$\delta_1$$\delta_2$$\ldots$$\delta_{d-1}$$50\%$

Aqui está um código R para ilustrar o acima, com valores padrão para e :$\mu$$\Sigma$

library(mvtnorm)
d=4
target=function(the,mu=1:d,sigma=diag(1/(1:d))){
 carte=cos(the[1])
 for (i in 2:(d-1))
  carte=c(carte,prod(sin(the[1:(i-1)]))*cos(the[i]))
 carte=c(carte,prod(sin(the[1:(d-1)])))
 prod(sin(the)^((d-2):0))*dmvnorm(carte,mean=mu,sigma=sigma)}
#Gibbs
T=1e4
#starting point
mu=(1:d)
mup=mu/sqrt(sum(mu^2))
mut=acos(mup[1])
for (i in 2:(d-1))
  mut=c(mut,acos(mup[i]/prod(sin(mut))))
thes=matrix(mut,nrow=T,ncol=d-1,byrow=TRUE)
delta=rep(pi/2,d-1)     #scale
past=target(thes[1,])   #current target
for (t in 2:T){
 thes[t,]=thes[t-1,]
 for (j in 1:(d-1)){
   prop=thes[t,]
   prop[j]=prop[j]+runif(1,-delta[j],delta[j])
   prop[j]=prop[j]%%(2*pi-(j<d-1)*pi)
   prof=target(prop)
   if (runif(1)<prof/past){
     past=prof;thes[t,]=prop}
   }
}

x E [ ( x - μ ) 2 ] ˜ =$||x||_2^2=1$ não é estritamente possível, pois é uma variável aleatória (contínua). Se você deseja que ele varie 1, ou seja, (onde o til significa que estimamos a variação), você precisará exigir que sua variação seja . No entanto, essa demanda pode entrar em conflito com . Ou seja, para obter amostras com essa variação, você precisa que a diagonal de seja igual a .$x$$E[(x-\mu)^2]\tilde{=} \frac{1}{n}\sum (x-\mu)^2=\frac{1}{n} ||x-n||_2^2=\frac{1}{n}$ ΣΣ$\frac{1}{n}$$\Sigma$$\Sigma$$\frac{1}{n}$

Para fazer o exemplo dessa distribuição em geral, você pode gerar normais padrão iid e multiplicar por , a raiz quadrada de e adicionar os meios . Σ $\Sigma^{0.5}$$\Sigma$$\mu$