Uma observação pedante: pretende significar ? Alternativamente, isso poderia significar condicionamento apenas em , ou seja, . Porém, como este último não especifica completamente a distribuição conjunta dos s, não está claro imediatamente se a expectativa é determinada exclusivamente. Xi∼U[Xi−1,1]Xi∣X1,…,Xi−1∼U[Xi−1,1]Xi−1Xi∣Xi−1∼U[Xi−1,1]Xi
Juho Kokkala
Eu acho que teoricamente deveria estar condicionado em todo o anterior até . No entanto, dado , podemos obter a distribuição para . Portanto, não tenho muita certeza disso. XiXi−1Xi−1Xi
usar o seguinte código
@JuhoKokkala Como afirmado, não importa se você condiciona as variáveis antes de porque elas não mudam o fato de ser uniforme . A distribuição de parece perfeitamente bem definida para mim. Xi - 1XEu[ Xi - 1, 1 ]( X1, … , Xn)
dsaxton
@dsaxton Se assumirmos apenas e , continua sendo possível que e não sejam condicionalmente independentes em . Portanto, a distribuição de não está bem definida. X1∼ U( 0 , 1 )XEu∣ Xi - 1∼ U( Xi - 1, 1 ) , i = 2 , 3 , . . .X1X3X2( X1, X2, X3)
Juho Kokkala
@JuhoKokkala Se eu lhe disser que , qual é a distribuição do ? Se você pode responder à pergunta sem sequer pensar em , como e ser dependentes, dado ? Observe também como outros pôsteres não tiveram problemas ao simular essa sequência. X2= tX3X1X1X3X2
precisa saber é o seguinte
Respostas:
12
A resposta é de fato ,1 / e como adivinhado nas respostas anteriores, com base em simulações e aproximações finitas.
A solução é facilmente alcançada através da introdução de uma sequência de funções . Embora possamos avançar imediatamente para essa etapa, ela pode parecer bastante misteriosa. A primeira parte desta solução explica como se pode preparar esses . A segunda parte mostra como eles são explorados para encontrar uma equação funcional satisfeita pela função limitadora . A terceira parte exibe os cálculos (de rotina) necessários para resolver esta equação funcional.f n ( t ) f ( t ) = lim n → ∞ f n ( t )fn: [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ]fn( T )f( t ) = limn → ∞fn( T )
1. Motivação
Podemos chegar a isso aplicando algumas técnicas matemáticas padrão de solução de problemas. Nesse caso, onde algum tipo de operação é repetida ad infinitum, o limite existirá como um ponto fixo dessa operação. A chave, então, é identificar a operação.
A dificuldade é que a mudança de para parece complicada. É mais simples visualizar esta etapa como decorrente do adjacente às variáveis vez de adjacente às variáveis . Se considerarmos como sendo construído como descrito na pergunta - com distribuído uniformemente em , condicionalmente distribuído uniformemente em e assim por diante-- introduzindoE [ X 1 X 2 ⋯ X n - 1 X n ] X 1 ( X 2 , … , X n ) X n ( X 1 , X 2 , … , X n - 1 ) ( X 2 , … , X nE[ X1X2⋯ Xn - 1]E[ X1X2⋯ Xn - 1Xn]X1( X2, … , Xn)Xn( X1, X2, … , Xn - 1)X 2 [ 0 , 1 ] X 3 [ X 2 , 1 ] X 1 X i 1 - X 1 1( X2, … , Xn)X2[ 0 , 1 ]X3[ X2, 1 ]X1fará com que cada um dos subsequentes para encolher por um factor de em direcção ao limite superior . Esse raciocínio leva naturalmente à seguinte construção.XEu1 - X11
Como questão preliminar, como é um pouco mais simples reduzir os números para que para , deixe . Portanto, é distribuído uniformemente em e é distribuído uniformemente em condicional em para todos os Estamos interessados em duas coisas:1 Y i = 1 - X i Y 1 [ 0 , 1 ] Y i + 1 [ 0 , Y i ] ( Y 1 , Y 2 , … , Y i ) i = 1 , 2 , 3 , … .0 01YEu= 1 - XEuY1[ 0 , 1 ]Yi + 1[ 0 , YEu]( Y1, Y2, ... , YEu)i = 1 , 2 , 3 , ... .
O valor limite de .E[ X1X2⋯ Xn] = E[ ( 1 - Y1) ( 1 - Y2)⋯(1−Yn)]
Como esses valores se comportam ao reduzir todo o uniformemente em direção a : ou seja, escalonando todos por algum fator comum , . 0 t 0 ≤ t ≤ 1Yi0t0≤t≤1
Para esse fim, defina
fn(t)=E[(1−tY1)(1−tY2)⋯(1−tYn)].
Claramente cada é definido e contínuo (infinitamente diferenciável, na verdade) para todos reais . Vamos nos concentrar no comportamento deles para . t t ∈ [ 0 , 1 ]fntt∈[0,1]
2. O passo chave
O seguinte é óbvio:
Cada é uma função monotonicamente decrescente de a .[ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ]fn(t)[0,1][0,1]
nfn(t)>fn+1(t) para todos os .n
nfn(0)=1 para todos os .n
E(X1X2⋯Xn)=fn(1).
Estas implicam que existe para todos e .t ∈ [ 0 , 1 ] f ( 0 ) = 1f(t)=limn→∞fn(t)t∈[0,1]f(0)=1
Observe que, condicional em , a variável é uniforme em e as variáveis (condicional em todas as variáveis anteriores) são uniformes em : isto é , satisfazem precisamente as condições satisfeitas por . ConsequentementeY 2 / Y 1 [ 0 , 1 ] Y i + 1 / Y 1 [ 0 , Y i / Y 1 ] ( Y 2 / Y 1 , Y 3 / Y 1 , … , Y n / Y 1 ) ( Y 1 , … , Y n - 1 )Y1Y2/Y1[0,1]Yi+1/Y1[0,Yi/Y1](Y2/Y1,Y3/Y1,…,Yn/Y1)(Y1,…,Yn−1)
Essa é a relação recursiva que estávamos procurando.
No limite de , portanto, deve ser o caso de distribuído uniformemente em independentemente de todos os ,Y [ 0 , 1 ] Y in → ∞Y[ 0 , 1 ]YEu
f( t ) = E[ ( 1 - t Y) f( t Y) ] = ∫10 0( 1 - t y) f( t y) dy= 1t∫t0 0( 1 - x ) f( x ) dx .
Ou seja, deve ser um ponto fixo do para o qualLfeu
L [g] ( t ) = 1t∫t0 0(1−x)g(x)dx.
3. Cálculo da solução
Limpe a fração multiplicando os dois lados por . Como o lado direito é uma integral, podemos diferenciá-lo em relação a , dandot t1/ttt
f(t)+tf′(t)=(1−t)f(t).
Equivalentemente, ao subtrair e dividir ambos os lados por ,tf(t)t
f′(t)=−f(t)
para . Podemos estender isso por continuidade para incluir . Com a condição inicial (3) , a solução exclusiva ét = 0 f ( 0 ) = 10<t≤1t=0f(0)=1
f(t)=e−t.
Consequentemente, por (4), a expectativa limitadora de é , QED. f ( 1 ) = e - 1 = 1 / eX1X2⋯Xnf(1)=e−1=1/e
Como o Mathematica parece ser uma ferramenta popular para estudar esse problema, aqui está o código do Mathematica para calcular e plotar para pequeno . O gráfico de exibe convergência rápida para (mostrado como o gráfico preto). n f 1 , f 2 , f 3 , f 4 e - tfnnf1,f2,f3,f4e−t
Obrigado por compartilhar isso com a gente. Existem pessoas realmente brilhantes por aí!
Felipe Gerard
4
Atualizar
Eu acho que é uma aposta segura que a resposta seja . Corri as integrais para o valor esperado de a usando Mathematica e com eu tenhon = 2 n = 100 n = 1001/en=2n=100n=100
Este é mais um comentário extenso do que uma resposta.
Se seguirmos uma rota de força bruta, determinando o valor esperado para vários valores de , talvez alguém reconheça um padrão e, em seguida, consiga estabelecer um limite.n
que é 96547/259200 ou aproximadamente 0,3724807098765432.
Se deixarmos a integral de 0 para 1, teremos um polinômio em com os seguintes resultados para a (e deixei cair o subscrito para facilitar a leitura das coisas): n = 1 n = 6x1n=1n=6
Se alguém reconhecer a forma dos coeficientes inteiros, talvez seja possível determinar um limite como (depois de executar a integração de 0 a 1 que foi removida para mostrar o polinômio subjacente).n→∞
você pode compartilhar todo o seu código? Minha solução difere da sua.
1
O primeiro ponto, que é crucial, não parece ser suficientemente bem justificado. Por que você pode descartar o efeito, digamos, dos próximos valores de ? Apesar da convergência "rápida", seu efeito cumulativo pode diminuir consideravelmente a expectativa. 10100xn
whuber
1
Bom uso da simulação aqui. Tenho perguntas semelhantes às @whuber. Como podemos ter certeza de que o valor converge para 0,367, mas não para algo menor, o que é potencialmente possível se for maior? n
usar o seguinte código
Em resposta aos 2 comentários acima: (a) A série converge muito rapidamente para 1. Mesmo começando com um valor inicial de , em cerca de 60 iterações, será numericamente indistinguível do numérico 1.0 para um computador . Portanto, simular com é um exagero. (b) Como parte do teste de Monte Carlo, também verifiquei a mesma simulação (com 1 milhão de execuções), mas usando vez de 1000, e os resultados foram indistinguíveis. Portanto, parece improvável que valores maiores de façam qualquer diferença discernível: acima de , é efetivamente 1,0.XiX1=0.1X60Xnn=1000n=5000nn=100Xn
wolfies
0
Puramente intuitivamente, e com base na outra resposta de Rusty, acho que a resposta deve ser algo assim:
n = 1:1000
x = (1 + (n^2 - 1)/(n^2)) / 2
prod(x)
O que nos dá 0.3583668. Para cada , você está dividindo o intervalo ao meio, onde começa em . Portanto, é um produto de , etc.X(a,1)a01/2,(1+3/4)/2,(1+8/9)/2
Isso é apenas intuição.
O problema com a resposta de Rusty é que U [1] é idêntico em todas as simulações. As simulações não são independentes. Uma correção para isso é fácil. Mova a linha com U[1] = runif(1,0,1)para dentro do primeiro loop. O resultado é:
set.seed(3) #Just for reproducibility of my solution
n = 1000 #Number of random variables
S = 1000 #Number of Monte Carlo samples
Z = rep(NA,S)
U = rep(NA,n)
for(j in 1:S){
U[1] = runif(1,0,1)
for(i in 2:n){
U[i] = runif(1,U[i-1],1)
}
Z[j] = prod(U)
}
mean(Z)
Respostas:
A resposta é de fato ,1 / e como adivinhado nas respostas anteriores, com base em simulações e aproximações finitas.
A solução é facilmente alcançada através da introdução de uma sequência de funções . Embora possamos avançar imediatamente para essa etapa, ela pode parecer bastante misteriosa. A primeira parte desta solução explica como se pode preparar esses . A segunda parte mostra como eles são explorados para encontrar uma equação funcional satisfeita pela função limitadora . A terceira parte exibe os cálculos (de rotina) necessários para resolver esta equação funcional.f n ( t ) f ( t ) = lim n → ∞ f n ( t )fn: [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] fn( T ) f( t ) = limn → ∞fn( T )
1. Motivação
Podemos chegar a isso aplicando algumas técnicas matemáticas padrão de solução de problemas. Nesse caso, onde algum tipo de operação é repetida ad infinitum, o limite existirá como um ponto fixo dessa operação. A chave, então, é identificar a operação.
A dificuldade é que a mudança de para parece complicada. É mais simples visualizar esta etapa como decorrente do adjacente às variáveis vez de adjacente às variáveis . Se considerarmos como sendo construído como descrito na pergunta - com distribuído uniformemente em , condicionalmente distribuído uniformemente em e assim por diante-- introduzindoE [ X 1 X 2 ⋯ X n - 1 X n ] X 1 ( X 2 , … , X n ) X n ( X 1 , X 2 , … , X n - 1 ) ( X 2 , … , X nE[ X1X2⋯ Xn - 1] E[ X1X2⋯ Xn - 1Xn] X1 ( X2, … , Xn) Xn ( X1, X2, … , Xn - 1) X 2 [ 0 , 1 ] X 3 [ X 2 , 1 ] X 1 X i 1 - X 1 1( X2, … , Xn) X2 [ 0 , 1 ] X3 [ X2, 1 ] X1 fará com que cada um dos subsequentes para encolher por um factor de em direcção ao limite superior . Esse raciocínio leva naturalmente à seguinte construção.XEu 1 - X1 1
Como questão preliminar, como é um pouco mais simples reduzir os números para que para , deixe . Portanto, é distribuído uniformemente em e é distribuído uniformemente em condicional em para todos os Estamos interessados em duas coisas:1 Y i = 1 - X i Y 1 [ 0 , 1 ] Y i + 1 [ 0 , Y i ] ( Y 1 , Y 2 , … , Y i ) i = 1 , 2 , 3 , … .0 0 1 YEu= 1 - XEu Y1 [ 0 , 1 ] Yi + 1 [ 0 , YEu] ( Y1, Y2, ... , YEu) i = 1 , 2 , 3 , ... .
O valor limite de .E[ X1X2⋯ Xn] = E[ ( 1 - Y1) ( 1 - Y2)⋯(1−Yn)]
Como esses valores se comportam ao reduzir todo o uniformemente em direção a : ou seja, escalonando todos por algum fator comum , . 0 t 0 ≤ t ≤ 1Yi 0 t 0≤t≤1
Para esse fim, defina
Claramente cada é definido e contínuo (infinitamente diferenciável, na verdade) para todos reais . Vamos nos concentrar no comportamento deles para . t t ∈ [ 0 , 1 ]fn t t∈[0,1]
2. O passo chave
O seguinte é óbvio:
Cada é uma função monotonicamente decrescente de a .[ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ]fn(t) [0,1] [0,1]
nfn(t)>fn+1(t) para todos os .n
nfn(0)=1 para todos os .n
Estas implicam que existe para todos e .t ∈ [ 0 , 1 ] f ( 0 ) = 1f(t)=limn→∞fn(t) t∈[0,1] f(0)=1
Observe que, condicional em , a variável é uniforme em e as variáveis (condicional em todas as variáveis anteriores) são uniformes em : isto é , satisfazem precisamente as condições satisfeitas por . ConsequentementeY 2 / Y 1 [ 0 , 1 ] Y i + 1 / Y 1 [ 0 , Y i / Y 1 ] ( Y 2 / Y 1 , Y 3 / Y 1 , … , Y n / Y 1 ) ( Y 1 , … , Y n - 1 )Y1 Y2/Y1 [0,1] Yi+1/Y1 [0,Yi/Y1] (Y2/Y1,Y3/Y1,…,Yn/Y1) (Y1,…,Yn−1)
Essa é a relação recursiva que estávamos procurando.
No limite de , portanto, deve ser o caso de distribuído uniformemente em independentemente de todos os ,Y [ 0 , 1 ] Y in → ∞ Y [ 0 , 1 ] YEu
Ou seja, deve ser um ponto fixo do para o qualLf eu
3. Cálculo da solução
Limpe a fração multiplicando os dois lados por . Como o lado direito é uma integral, podemos diferenciá-lo em relação a , dandot t1/t t t
Equivalentemente, ao subtrair e dividir ambos os lados por ,tf(t) t
para . Podemos estender isso por continuidade para incluir . Com a condição inicial (3) , a solução exclusiva ét = 0 f ( 0 ) = 10<t≤1 t=0 f(0)=1
Consequentemente, por (4), a expectativa limitadora de é , QED. f ( 1 ) = e - 1 = 1 / eX1X2⋯Xn f(1)=e−1=1/e
Como o Mathematica parece ser uma ferramenta popular para estudar esse problema, aqui está o código do Mathematica para calcular e plotar para pequeno . O gráfico de exibe convergência rápida para (mostrado como o gráfico preto). n f 1 , f 2 , f 3 , f 4 e - tfn n f1,f2,f3,f4 e−t
fonte
Atualizar
Eu acho que é uma aposta segura que a resposta seja . Corri as integrais para o valor esperado de a usando Mathematica e com eu tenhon = 2 n = 100 n = 1001/e n=2 n=100 n=100
(até 100 casas decimais). O recíproco desse valor é
A diferença com esse recíproco ée
Eu acho que é muito próximo, ouso dizer, ser uma coincidência racional.
O código do Mathematica é o seguinte:
Fim da atualização
Este é mais um comentário extenso do que uma resposta.
Se seguirmos uma rota de força bruta, determinando o valor esperado para vários valores de , talvez alguém reconheça um padrão e, em seguida, consiga estabelecer um limite.n
Para , temos o valor esperado do produto sendon=5
que é 96547/259200 ou aproximadamente 0,3724807098765432.
Se deixarmos a integral de 0 para 1, teremos um polinômio em com os seguintes resultados para a (e deixei cair o subscrito para facilitar a leitura das coisas): n = 1 n = 6x1 n=1 n=6
Se alguém reconhecer a forma dos coeficientes inteiros, talvez seja possível determinar um limite como (depois de executar a integração de 0 a 1 que foi removida para mostrar o polinômio subjacente).n→∞
fonte
Boa pergunta. Apenas como um comentário rápido, eu observaria que:
Se , pela simulação de Monte Carlo, como , .Zn=X1X2…Xn n→∞ E[Zn]≈0.367
O diagrama a seguir compara o pdf de Monte Carlo simulado de com uma distribuição de Função de Potência [ie, um beta (a, 1) pdf]]Zn
... aqui com o parâmetro :a=0.57
(fonte: tri.org.au )
Onde:
O ajuste parece muito bom.
Código
Aqui estão 1 milhão de desenhos pseudo-aleatórios do produto (digamos, com ), aqui usando o Mathematica :Zn n=1000
A média da amostra é:
fonte
Puramente intuitivamente, e com base na outra resposta de Rusty, acho que a resposta deve ser algo assim:
O que nos dáX (a,1) a 0 1/2,(1+3/4)/2,(1+8/9)/2
0.3583668
. Para cada , você está dividindo o intervalo ao meio, onde começa em . Portanto, é um produto de , etc.Isso é apenas intuição.
O problema com a resposta de Rusty é que U [1] é idêntico em todas as simulações. As simulações não são independentes. Uma correção para isso é fácil. Mova a linha com
U[1] = runif(1,0,1)
para dentro do primeiro loop. O resultado é:Isso dá
0.3545284
.fonte