Suponha que as variáveis aleatórias e sejam independentes e -distribuídas. Mostre que possui um \ distribuição de texto {Exp} (1) .
Comecei esse problema definindo Em seguida, o seria distribuído como e seria distribuído como As densidades podem ser encontradas facilmente como e
É aqui que estou tendo dificuldades para saber para onde ir agora, agora que são calculadas. Estou pensando que tem que fazer algo com uma transformação, mas não tenho certeza ...
Respostas:
Esse problema pode ser resolvido apenas a partir das definições: o único cálculo avançado é a integral de um monômio.
Observações preliminares
Vamos trabalhar com as variáveis e todo: isso não muda mas faz iid com Uniforme distribuições, eliminando todas as aparências distração de nos cálculos. Assim, podemos assumir sem qualquer perda de generalidade.Y i / a Z n ( X 1 , … , Y n ) ( 0 , 1 ) a a = 1XEu/ a YEu/ a Zn ( X1 1, ... , Yn) ( 0 , 1 ) uma a = 1
Observe que a independência do e sua distribuição uniforme implica que, para qualquer número para o qual , y 0 ≤ y ≤ 1YEu y 0≤y≤1
com um resultado idêntico mantendo para . Para referência futura, isso nos permite calcularX(n)
Solução
Seja um número real positivo. Para encontrar a distribuição de , substitua sua definição e simplifique a desigualdade resultante:Z nt Zn
Esse evento divide-se em dois casos equiprobáveis, dependendo de ou ser o menor dos dois (e sua interseção, com probabilidade zero, pode ser ignorada). Portanto, precisamos calcular apenas a chance de um desses casos (digamos, onde é menor) e duplicá-la. Desde , , permitindo-nos (ao deixar desempenhar o papel de ) aplicar os cálculos na seção preliminar: Y ( n ) Y ( n ) t ≥ 0 0 ≤ e - t / n X ( n ) ≤ 1 e - t / n X ( n ) yX(n) Y(n) Y(n) t≥0 0≤e−t/nX(n)≤1 e−t/nX(n) y
É isso que significa para ter uma distribuição Exp . ( 1 )Zn (1)
fonte
Vou esboçar a solução, aqui, usando um sistema de álgebra computacional para fazer as pequenas coisas ...
Solução
Se for uma amostra do tamanho no pai , o pdf do máximo da amostra será: e similarmente para . n X ∼ Uniforme ( 0 , a ) f n ( x ) = nX1,...,Xn n X∼Uniform(0,a) Y
Abordagem 1: Encontre o pdf conjunto de(X(n),Y(n))
Como e são independentes, o pdf conjunto dos 2 máximos da amostra é simplesmente o produto dos 2 pdfs, digamos :Y ( X ( n ) , Y ( n ) ) f ( n ) ( x , y )X Y ( X( N ), Y( N )) f( N )( x , y)
Dado . Então, o cdf de é é: ZnP(ZN<z)Zn= n logmax ( Y( N ), X( N ))min ( Y( N ), X( N )) Zn P( Zn< z)
onde estou usando az Zn
Prob
função do pacote mathStatica para o Mathematica automatizar. A diferenciação de cdf wrt produz o pdf de como exponencial padrão.Z nAbordagem 2: estatísticas de pedidos
Podemos usar as estatísticas de pedidos para "ignorar" a mecânica de ter que lidar com as funções Max e Min.
Mais uma vez: Se é uma amostra do tamanho no pai , o pdf do máximo da amostra é, digamos, : n X ∼ Uniforme ( 0 , a ) W = X ( n ) f n ( w )X1 1, . . . , Xn n X∼ Uniforme ( 0 , a ) W= X( N ) fn(w)
Os máximos da amostra e são apenas dois desenhos independentes dessa distribuição de ; ou seja, as estatísticas de ordem e de (em uma amostra do tamanho 2) são exatamente o que estamos procurando: S ( n ) W 1 s t 2 n d WX(n) Y(n) W 1st 2nd W
O pdf conjunto de , em uma amostra de tamanho 2, digamos , É:g ( . , . )(W(1),W(2)) g(.,.)
Dado . Então, o cdf de é é: ZnP(ZN<z)Zn=nlogmax(Y(n),X(n))min(Y(n),X(n)) Zn P(Zn<z)
A vantagem dessa abordagem é que o cálculo da probabilidade não envolve mais as funções max / min, o que pode facilitar a expressão da derivação (especialmente à mão).
De outros
Conforme meu comentário acima, parece que você interpretou mal a pergunta ...
Somos convidados a encontrar:
onde o denominador é min (Xmax, yMax), ... não o mínimo de todos os 's e ' s.YX Y
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