Pergunta: como é uma distribuição binomial bivariada no espaço tridimensional?
Abaixo está a função específica que eu gostaria de visualizar para vários valores dos parâmetros; ou seja, , e .
Observe que existem duas restrições; e . Além disso, é um número inteiro positivo, por exemplo, .
In fizeram duas tentativas para plotar a função usando LaTeX (TikZ / PGFPLOTS). Ao fazê-lo, fico com os gráficos abaixo para os seguintes valores: , e , e, , e , respectivamente. Não tenho conseguido implementar a restrição nos valores do domínio; , então estou um pouco perplexo.
Uma visualização produzida em qualquer idioma seria adequada (R, MATLAB etc.), mas estou trabalhando no LaTeX com o TikZ / PGFPLOTS.
Primeira tentativa
, e
Segunda tentativa
, e
Editar:
Para referência, aqui está um artigo que contém alguns gráficos. O título do artigo é "Uma nova distribuição binomial bivariada" de Atanu Biswasa e Jing-Shiang Hwang. Statistics & Probability Letters 60 (2002) 231-240.
Edit 2: Para maior clareza, e em resposta a @GlenB nos comentários, abaixo está um instantâneo de como a distribuição me foi apresentada em meu livro. O livro não se refere a casos degenerados / não degenerados e assim por diante. Simplesmente apresenta assim e procurei visualizá-lo. Felicidades! Além disso, como apontado por @JohnK, é provável que haja um erro de digitação em relação a x1 + x1 = 1, o que ele sugere que deve ser x1 + x1 = n.
Imagem da equação de:
Spanos, A (1986) Fundamentos estatísticos da modelagem econométrica. Cambridge University Press
fonte
Respostas:
Existem duas partes para isso: primeiro você precisa descobrir quais são as probabilidades individuais e, em seguida, plotá-las de alguma forma.
Um PMF binomial é apenas um conjunto de probabilidades ao longo de vários 'sucessos'. Um PMF binomial bivariado será um conjunto de probabilidades em uma grade de combinações possíveis de 'sucessos'. No seu caso, você tem , portanto (considerando que sucesso é uma possibilidade), existem resultados possíveis na distribuição binomial da grade / bivariada.ni=nj=5 0 6×6=36
Podemos primeiro calcular os PMFs binomiais marginais, porque isso é muito simples. Como as variáveis são independentes, cada probabilidade conjunta será apenas o produto das probabilidades marginais; isso é álgebra matricial. Aqui eu demonstro esse processo usando o
R
código:Neste ponto, temos as duas matrizes necessárias de probabilidades. Só precisamos decidir como queremos plotá-los. Para ser sincero, não sou um grande fã de gráficos de barras 3D. Como
R
parece concordar comigo, fiz esses gráficos no Excel:b19
:b46
:fonte
A resposta de Gung é uma boa resposta para um binômio bivariado real, explicando bem os problemas (eu recomendaria aceitá-lo como uma boa resposta para a pergunta do título, provavelmente mais útil para outros).
O objeto matemático que você realmente apresenta na sua edição é realmente um binômio em escala univariada. Aqui não é o valor obtido pela contagem binomial, mas pela proporção (o binomial dividido por ).x1 n
Então, vamos definir as coisas corretamente. Observe que nenhuma definição da variável aleatória é realmente oferecida; portanto, ficamos com algumas suposições.
Deixe Observe que, quando fornecemos uma fórmula matemática para , é necessário que valores possa assumir, então . Deixe e observe que .Y1∼binomial(n,p1), P(Y1=y1) y1 y1=0,1,...,n X1=Y1/n x1=0,16,26,...,1
Em seguida, a equação que é dar o pmf para (notar que e ).P(X1=x1) x2=n−x1 p2=1−p1
Para , fica assim:n=6,p1=0.3
Podemos colocar os valores no gráfico acima com bastante facilidade, simplesmente colocando um segundo conjunto de rótulos sob os valores iguais a (talvez em uma cor diferente) para indicar o valor obtido por .x2 x1 1−x1 x2
Poderíamos considerá-lo um binômio bivariado degenerado (em escala):
mas é um pouco difícil chamar realmente o que é definido no livro de binomial bivariado (já que é efetivamente um binomial univariado).
Supondo que alguém deseje gerar um gráfico semelhante ao 3D, esse pequeno código (R) se aproxima bastante do segundo gráfico acima:
(Você precisa do
scatterplot3d
pacote que contém a função com o mesmo nome.)Um binômio bivariado "verdadeiro" (não degenerado) tem variação nas duas variáveis ao mesmo tempo. Aqui está um exemplo de um tipo específico de binômio bivariado (não independente neste caso). Eu recorri ao uso de cores diferentes na trama, porque é muito fácil se perder na floresta de "paus".
Existem várias maneiras de obter um objeto que você pode chamar de binomial bivariado; esse tipo específico é aquele em que você tem , , ( todos independentes), em seguida, deixar e .X∼bin(n0,p) Y∼bin(ny,p) Z∼bin(nz,p) X1=X+Y X2=X+Z
Isso gera o binômio e que estão correlacionados (mas tem a desvantagem de não produzir correlações negativas).X1 X2
Uma expressão para o pmf desse tipo específico de distribuição binomial bivariada é dada em Hamdan, 1972 [1], mas eu não usei esse cálculo; pode-se facilmente fazer computação direta (convolução numérica). Nesse caso específico, era 4 e e eram apenas 2 cada, portanto, o cálculo numérico direto em toda a grade (49 valores no resultado final) não é difícil ou oneroso. Você começa com uma bivariada degenerada (ambas as dimensões ) semelhante à degenerada mostrada acima (mas menor e na "diagonal principal" - em vez da antidiagonal ( ) e depois adiciona os componentes independentes , espalhando a probabilidade ao longo e fora da diagonal.n0 ny nz =X x1=x2 x1+x2=n
[1]: Hamdan, MA (1972),
"Expansão canônica da distribuição binomial bivariada com índices marginais desiguais"
International Statistical Review , 40 : 3 (dez), pp. 277-280
fonte
Mathematica
agora é bastante forte nessas coisas - ele tem a solução do seu problema diretamente na documentação . Com pequenas adições, criei um modelo para brincar (comp = p1 = 0.4
uma melhor apresentação visual). É assim que a interface se parece e como ela pode ser controlada.Snippet
A principal coisa aqui é
PDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}]
, que é auto-explicativo, eu acho.Multinomial
apenas significa que você pode fazer muitas distribuiçõespi
para cada variável respectiva. A forma simples éBinomialDistribution
. Claro, eu poderia fazê-lo manualmente, mas a regra é se você tiver uma função incorporada - você deve usá-la.Se você precisar de alguns comentários sobre a estrutura do código, informe-me.
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