Variação na estimativa de p para uma distribuição binomial

como posso calcular a variação de p como derivada de uma distribuição binomial? Digamos que eu jogue n moedas e ganhe k heads. Posso estimar p como k / n, mas como posso calcular a variação nessa estimativa?

Estou interessado nisso, para que eu possa controlar a variação nas minhas estimativas de proporção ao comparar entre pontos com diferentes números de tentativas. Eu tenho mais certeza da estimativa de p quando n é maior, então gostaria de poder modelar o quão confiável é a estimativa.

Desde já, obrigado!

exemplo:

• 40/100. O MLE de p seria 0,4, mas qual é a variação em p?
• 4/10. O MLE ainda seria 0,4, mas a estimativa é menos confiável, portanto deve haver mais variação em p.

Se é então MLE de é .$X$$\text{Binomial}(n, p)$$p$$\hat{p} = X/n$

Uma variável binomial pode ser considerada a soma de variáveis ​​aleatórias de Bernoulli. que .$n$$X = \sum_{i=1}^n Y_i$$Y_i\sim\text{Bernoulli}(p)$

para que possamos calcular a variação do MLE como$\hat{p}$

$$\begin{align*} \text{Var}[\hat{p}] &= \text{Var}\left[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i\right]\\ &= \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n Var[Y_i]\\ &= \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n p(1-p)\\ &= \dfrac{p(1-p)}{n} \end{align*}$$

Assim, você pode ver que a variação do MLE fica menor para o grande , e também é menor para próximo a 0 ou 1. Em termos de , é maximizada quando .p p p = $n$$p$$p$$p=0.5$

Para alguns intervalos de confiança, você pode conferir Intervalos de confiança binomiais