Autocorrelação de processos de RA (1) independentes concatenados

Deixe ser um processo estocástico formada pela concatenação iid retira um AR (1) do processo, onde cada sorteio é um vector de comprimento 10. Por outras palavras, { X 1 , X 2 , ... , X 10 } são realizações de um processo de RA (1); { X 11 , X 12 , … , X 20 } são extraídos do mesmo processo, mas são independentes das 10 primeiras observações; et cetera.$\left\{X_t\right\}$$\left\{X_1, X_2, \ldots, X_{10}\right\}$$\left\{X_{11}, X_{12}, \ldots, X_{20}\right\}$

Como será o ACF de - chame de ρ ( l ) -? Eu esperava que ρ ( l ) fosse zero para defasagens de comprimento l ≥ 10 , pois, por suposição, cada bloco de 10 observações é independente de todos os outros blocos.$X$$\rho\left(l\right)$$\rho\left(l\right)$$l \geq 10$

No entanto, quando simulo dados, recebo o seguinte:

simulate_ar1 <- function(n, burn_in=NA) {
    return(as.vector(arima.sim(list(ar=0.9), n, n.start=burn_in)))
}

simulate_sequence_of_independent_ar1 <- function(k, n, burn_in=NA) {
    return(c(replicate(k, simulate_ar1(n, burn_in), simplify=FALSE), recursive=TRUE))
}

set.seed(987)
x <- simulate_sequence_of_independent_ar1(1000, 10)
png("concatenated_ar1.png")
acf(x, lag.max=100)  # Significant autocorrelations beyond lag 10 -- why?
dev.off()

Por que existem autocorrelações tão longe de zero após o atraso 10?

Meu palpite inicial era que o burn-in no arima.sim era muito curto, mas recebo um padrão semelhante quando defini explicitamente, por exemplo, burn_in = 500.

o que estou perdendo?

Edit : Talvez o foco em concatenar AR (1) s seja uma distração - um exemplo ainda mais simples é este:

set.seed(9123)
n_obs <- 10000
x <- arima.sim(model=list(ar=0.9), n_obs, n.start=500)
png("ar1.png")
acf(x, lag.max=100)
dev.off()

$\rho(l) = 0.9^l$

$\hat{\rho}$$\left(\hat{\rho}(60), \hat{\rho}(61)\right)$$0.9^{60} \approx 0$

## Look at joint sampling distribution of (acf(60), acf(61)) estimated from AR(1)
get_estimated_acf <- function(lags, n_obs=10000) {
    stopifnot(all(lags >= 1) && all(lags <= 100))
    x <- arima.sim(model=list(ar=0.9), n_obs, n.start=500)
    return(acf(x, lag.max=100, plot=FALSE)$acf[lags + 1])
}
lags <- c(60, 61)
acf_replications <- t(replicate(1000, get_estimated_acf(lags)))
colnames(acf_replications) <- sprintf("acf_%s", lags)
colMeans(acf_replications)  # Essentially zero
plot(acf_replications)
abline(h=0, v=0, lty=2)

Resumo executivo: Parece que você está confundindo ruído com autocorrelação verdadeira devido a um pequeno tamanho de amostra.

Você pode simplesmente confirmar isso aumentando o kparâmetro no seu código. Veja estes exemplos abaixo (usei o mesmo set.seed(987)para manter a replicabilidade):

k = 1000 (seu código original)

k = 2000

k = 5000

k = 10000

k = 50000

Essa sequência de imagens nos diz duas coisas:

• $\hat\rho(l)$$l>10$
• $\hat\rho(l)$$l>10$$\hat\rho(l)$$l \le 10$$\hat\rho(l)=\rho(l)=0.9^l$

$\hat\rho(l)$$\rho(l)$