O produto de duas variáveis ​​aleatórias lognormal

7

Seja e duas variáveis ​​aleatórias normais. Escreva e , para corrigir idéias.X1X2X1N(μ1,σ12)X2N(μ2,σ22)

Considere as variáveis ​​aleatórias log-normais correspondentes: , .Z1=exp(X1)Z2=exp(X2)

Pergunta: qual é a distribuição do produto das duas variáveis ​​aleatórias, ou seja, a distribuição de ?Z1Z2

Se as variáveis ​​aleatórias normais são independentes ou têm uma distribuição normal bivariada, a resposta é simples: temos com a soma normal, portanto, o produto ainda é lognormal .X1,X2Z1Z2=exp(X1+X2)X1+X2Z1Z2

Mas suponha que geralmente independentes, digamos com correlação . O que podemos dizer sobre a distribuição de ?X1,X2notρZ1Z2

Cara aleatório
fonte
Isso pode ser útil: stats.stackexchange.com/questions/19948/…
Greenparker
Duvido, no entanto .. basicamente, essa pergunta pergunta "se os marginais são normalmente distribuídos, podemos dizer algo sobre sua distribuição conjunta?" E eu acho que não podemos dizer muito em geral.
Ant
11
Z1Z2=exp(X1+X2) em geral, portanto, sua verdadeira pergunta é se é normal (que será se forem bivariados normais com a correlação )X1+X2X1,X2ρ
Henry
3
Se você não tem normalidade bivariada, apenas especificar a correlação e as margens não é suficiente para determinar a distribuição bivariada.
Glen_b -Reinstala Monica

Respostas:

4

Usando Dilips, responda aqui , se e são bi-variáveis ​​normais e e e a correlação entre e é . EntãoXYXN(μ1,σ12)YN(μ2,σ22)XYρ

Cov(X,Y)=ρσ1σ2,

X+YN(μ1+μ2,σ12+σ22+2ρσ1σ2).

Assim, também será uma distribuição lognormal com os parâmetros e .Z1Z2μ1+μ2σ12+σ22+2ρσ1σ2

Greenparker
fonte
2
Adiciona alguma qualificação? Isso é verdade se a distribuição de (X, Y) é bi-variável normal, mas que a distribuição marginal de X é normal e a distribuição marginal de Y é normal não implica que a distribuição conjunta seja bi-variável normal ... stats .stackexchange.com / questions / 30159 /…
Matthew Gunn
11
@MatthewGunn Interesting. Eu estava alegremente inconsciente disso. Como está, minha resposta não aborda a questão completamente. Vou esperar algumas horas antes de excluí-lo. Obrigado.
Greenparker 15/05
Você tem muitos dados dessa distribuição? Nesse caso, você pode plotá-lo ou testar se a normal bivariada é uma boa aproximação de distribuição. Caso contrário, talvez você possa estimar uma cópula e partir daí!
Kjetil b halvorsen
Isso é óbvio, mas você está perdendo o ponto: o que acontece se você não souber se os dois marginais têm uma distribuição bivariada?
RandomGuy
Obrigado! Essa resposta incrível salvou meu dia!
Jinhua Wang