Por que a correção de continuidade (por exemplo, a aproximação normal à distribuição binomial) funciona?

Desejo entender melhor como foi derivada a correção da continuidade da distribuição binomial para a aproximação normal.

Que método foi usado para decidir que devemos adicionar 1/2 (por que não outro número?). Qualquer explicação (ou um link para a leitura sugerida, além desta , seria apreciada).

1. De fato, nem sempre "funciona" (no sentido de sempre melhorar a aproximação do binômio cdf pelo normal em qualquer $x$ ). Se o binômio $p$ for 0,5, acho que sempre ajuda, exceto, talvez, pela cauda mais extrema. Se $p$ não estiver muito longe de 0,5, para razoavelmente grande $n$, geralmente funciona muito bem, exceto na extremidade mais distante, mas se $p$ estiver próximo de 0 ou 1, pode não ajudar em nada (consulte o ponto 6. abaixo)

2. Uma coisa a ter em mente (apesar das ilustrações quase sempre envolvendo pmfs e pdfs) é que estamos tentando aproximar o cdf. Pode ser útil refletir sobre o que está acontecendo com o cdf do binômio e o normal aproximado (por exemplo, aqui está $n=20,p=0.5$ ):

   

   No limite, o cdf de um binômio padronizado irá para um normal padrão (observe que a padronização afeta a escala no eixo x, mas não no eixo y); ao longo do caminho de cada vez maior $n$ saltos do CDF binomial tendem a escarranchar mais uniformemente a CDF normal.

   Vamos aumentar o zoom e ver isso no exemplo simples acima:

   

   Observe que, como a aproximação normal passa perto do meio dos saltos verticais *, enquanto no limite, o cdf normal é localmente aproximadamente linear e (como é a progressão do cdf binomial no topo de cada salto); como resultado, o cdf tende a cruzar as etapas horizontais próximas a . Se você deseja aproximar o valor do cdf binomial,F(x)no número inteirox, o cdf normal atinge essa altura perto dex+$x+\frac{_1}{^2}$$F(x)$$x$ .$x+\frac{_1}{^2}$

   * Se aplicarmos Berry-Esseen a variáveis ​​Bernoulli corrigidas pela média, os limites de Berry-Esseen permitirão muito pouco espaço de manobra quando estiver próximo de $p$ exestão próximos deμ- o cdf normal deve passar razoavelmente perto do meio dos saltos, porque, caso contrário, a diferença absoluta nos cdfs excederá o melhor limite de Berry-Essen de um lado ou de outro. Por sua vez, isso está relacionado à distância dex+$\frac12$$x$$\mu$ o cdf normal pode cruzar parte horizontal da função de etapa do binômio cdf.$x+\frac{_1}{^2}$

3. Expandindo a motivação que em 1. vamos considerar como usaríamos uma aproximação normal ao binômio cdf para calcular . Por exemplo, n = 20 , p = 0,5 , k = 9 (veja o segundo diagrama acima). Portanto, nosso normal com a mesma média e sd é N ( 10 , ( $P(X=k)$$n=20, p=0.5, k=9$. Observe que aproximamos o salto em cdf em 9 pela alteração no cdf normal entre 8,5 e 9,5.$N(10,(\sqrt{5})^2)$

4. $p(x)$$x$$p(x)$

   

   $x-\frac12$$x+\frac12$$\frac12$

   Pode-se motivar essa abordagem algebricamente usando uma derivação [ao longo das linhas de De Moivre - veja aqui ou aqui, por exemplo] para derivar a aproximação normal (embora possa ser realizada de maneira um pouco mais direta que a abordagem de De Moivre).

   ${n \choose x}$$\log(1+x)\approx x-x^2/2$

   $$P(X=x)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi np(1-p)}}\exp(-\frac{(x-np)^2}{2np(1-p)})$$

   $\mu=np$$\sigma^2 = np(1-p)$$x$$x$

   $Y\sim N(np,np(1-p))$$F(y+\frac12)-F(y-\frac12) = \int_{y-\frac12}^{y+\frac12}f_Y(u)du\approx f_Y(y)$$f_Y(x)\approx P(X=x)$$P(X=x)\approx F(x+\frac12)-F(x-\frac12)$

   [Uma aproximação semelhante do tipo "regra do ponto médio" pode ser usada para motivar outras aproximações de pmfs contínuos por densidades usando uma correção de continuidade, mas é preciso sempre ter cuidado ao prestar atenção em onde faz sentido invocar essa aproximação]

5. Nota histórica: a correção da continuidade parece ter se originado com Augustus de Morgan em 1838 como uma melhoria da aproximação de De Moivre. Veja, por exemplo, Hald (2007) [1]. A partir da descrição de Hald, seu raciocínio seguiu as linhas do item 4. acima (isto é, essencialmente em termos de tentativa de aproximar o pmf, substituindo o pico de probabilidade por um "bloco" de largura 1 centrado no valor x).

6. Uma ilustração de uma situação em que a correção da continuidade não ajuda:

   

   $X$$Y$$F_X(x)\approx F_Y(x+\frac12)$$p(x) \approx F_Y(x+\frac12)-F_Y(x-\frac12)$$F_X(x)\approx F_Y(x)$$p(x) \approx F_Y(x)-F_Y(x-1)$

   [1]: Hald, Anders (2007),
   "Uma História de Inferência Estatística Paramétrica de Bernoulli a Fisher, 1713-1935",
   Fontes e Estudos em História da Matemática e Ciências Físicas,
   Springer-Verlag New York

Acredito que o fator decorra do fato de estarmos comparando uma distribuição contínua a uma discreta. Portanto, precisamos traduzir o que cada valor discreto significa na distribuição contínua. Poderíamos escolher outro valor, no entanto, isso seria desequilibrado em relação a um determinado número inteiro. (ou seja, você ponderaria a probabilidade de ficar em 6 a mais em relação a 7 que em 5.)

Encontrei um link útil aqui: link