Meu professor de estatística disse basicamente que, se receber um dos três seguintes, você poderá encontrar os outros dois:
- Função de distribuição cumulativa
- Função Geradora de Momento
- Função densidade de probabilidade
Mas meu professor de econometria disse que os CDFs são mais fundamentais que os PDFs, porque há exemplos em que você pode ter um CDF, mas o PDF não está definido.
Os CDFs são mais fundamentais que os PDFs? Como sei se um PDF ou MGF pode ser derivado de um CDF?
probability
pdf
cdf
mgf
Stan Shunpike
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Respostas:
Toda distribuição de probabilidade em (um subconjunto de) possui uma função de distribuição cumulativa e define exclusivamente a distribuição. Portanto, nesse sentido, o CDF é realmente tão fundamental quanto a própria distribuição.Rn
Uma função de densidade de probabilidade , no entanto, existe apenas para distribuições de probabilidade (absolutamente) contínuas . O exemplo mais simples de uma distribuição sem PDF é qualquer distribuição de probabilidade discreta , como a distribuição de uma variável aleatória que utiliza apenas valores inteiros.
Obviamente, essas distribuições de probabilidade discretas podem ser caracterizadas por uma função de massa de probabilidade , mas também existem distribuições que não possuem PDF nem PMF, como qualquer mistura de uma distribuição contínua e discreta:
(Diagrama roubado descaradamente da resposta de Glen_b a uma pergunta relacionada.)
Existem distribuições de probabilidade únicas , como a distribuição Cantor , que não podem ser descritas nem por uma combinação de PDF e PMF. Tais distribuições ainda têm um CDF bem definido, no entanto. Por exemplo, aqui está o CDF da distribuição Cantor, também chamado de "escada do diabo":
( Imagem do Wikimedia Commons pelos usuários Theon e Amirki , usada sob a licença CC-By-SA 3.0 .)
O CDF, conhecido como função Cantor , é contínuo, mas não absolutamente contínuo. De fato, é constante em todos os lugares, exceto em um conjunto Cantor de medida zero da Lebesgue, mas que ainda contém infinitos pontos. Assim, toda a massa probabilística da distribuição Cantor está concentrada nesse subconjunto extremamente pequeno da linha numérica real, mas todos os pontos do conjunto ainda individualmente têm probabilidade zero.
Também existem distribuições de probabilidade que não possuem uma função geradora de momento . Provavelmente, o exemplo mais conhecido é a distribuição de Cauchy , uma distribuição de cauda gorda que não possui momentos bem definidos da ordem 1 ou superior (portanto, em particular, não tendo média ou variação bem definida!).
Todas as distribuições de probabilidade em , no entanto, tem um (possivelmente de valor complexo) função característica ), cuja definição é diferente daquele do FCL apenas por uma multiplicação com a unidade imaginária . Assim, a função característica pode ser considerada tão fundamental quanto o CDF.Rn
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Acredito que seu professor de econometria estava pensando algo ao longo das seguintes linhas.
Pela definição de um PDF, devemos ter
Nós precisaríamos
Você pode recuperar o espírito de um PDF, mas deve usar objetos matemáticos mais sofisticados, uma medida ou uma distribuição .
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Ilmari dá uma boa resposta de uma perspectiva teórica. No entanto, pode-se também perguntar quais propósitos a densidade (pdf) e a função de distribuição (pdf) servem para cálculos práticos. Isso poderia esclarecer para quais situações uma é mais diretamente útil que a outra.
A densidade é, no entanto, essencial para as estatísticas, pois a probabilidade é definida em termos da densidade. Portanto, se quisermos calcular a estimativa da máxima probabilidade, precisamos diretamente da densidade.
Se nos voltarmos para a comparação de uma distribuição empírica e uma teórica, ambas podem ser úteis, mas métodos como gráficos de pp e qq baseados na função de distribuição são frequentemente preferidos.
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