Maneira mais fácil de encontrar

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Considere 3 amostras de iid retiradas da distribuição uniforme , onde θ é o parâmetro. Eu quero encontrar E [ X ( 2 ) | X ( 1 ) , X ( 3 ) ] onde X ( i ) é a estatística da ordem i .u(θ,2θ)θ

E[X(2)|X(1),X(3)]
X(i)i

Eu esperaria que o resultado fosse Mas a única maneira de mostrar esse resultado parece muito longa, não consigo encontrar uma solução simples, estou perdendo alguma coisa, existe algum atalho?

E[X(2)|X(1),X(3)]=X(1)+X(3)2

O que faço é o seguinte:

  • Acho a densidade condicional

    f(x(2)|x(1),x(3))=f(x(1),x(2),x(3))f(x(1),x(3))
  • Eu integro

E[X(2)|X(1),X(3)]=xf(x|x(1),x(3))dx

Detalhes:

I{A}A

fx(1),,x(n)(x1,,xn)=n!i=1nfx(xi)I{x(1)x(2)x(n)}(x1,,xn)

obter para o meu caso

fx(1),x(2),x(3)(x1,x2,x3)=3!1θ3I{x1x2xn}(x1,,x3)

fx(1),x(3)(u,v)

fx(1),x(3)(u,v)=fx(1),x(2),x(3)(u,x2,v)dx2

isso é

fx(1),x(3)(u,v)=3!1θ3I{x1=ux2x3=v}(u,x,v)dx=3!1θ3[vu]

para isso

f(x(2)|x(2)=u,x(3)=v)=f(x(1)=u,x(2),x(3)=v)f(x(1)=u,x(3)=v)=3!1θ3Iux2v(u,x2,v)3!1θ3[vu]=[vu]1I{u<x2<v}

que dá

E[X(2)|X(1)=u,X(3)=v]=[vu]1uvxdx=[vu]1[v2u2]2=u+v2
eles
fonte
uv2u+v2
xdx

Respostas:

5

XiX(1)X(3) X(2)[X(1),X(3)](X(1)+X(3))/2, QED.


XiFX(k)dF(xk)/(F(x(k+1))F(x(k1)))k=1F(x0)0k=nF(xn+1)1

whuber
fonte
dF(xk)
11
dF(x)=dFdx(x)dx.