Considere 3 amostras de iid retiradas da distribuição uniforme , onde θ é o parâmetro. Eu quero encontrar
E [ X ( 2 ) | X ( 1 ) , X ( 3 ) ]
onde X ( i ) é a estatística da ordem i .u(θ,2θ)θ
E[X(2)|X(1),X(3)]
X(i)i
Eu esperaria que o resultado fosse
Mas a única maneira de mostrar esse resultado parece muito longa, não consigo encontrar uma solução simples, estou perdendo alguma coisa, existe algum atalho?
E[X(2)|X(1),X(3)]=X(1)+X(3)2
O que faço é o seguinte:
Acho a densidade condicional
f(x(2)|x(1),x(3))=f(x(1),x(2),x(3))f(x(1),x(3))
Eu integro
E[X(2)|X(1),X(3)]=∫xf(x|x(1),x(3))dx
Detalhes:
I{A}A
fx(1),…,x(n)(x1,⋯,xn)=n!∏i=1nfx(xi)I{x(1)≤x(2)≤⋯≤x(n)}(x1,⋯,xn)
obter para o meu caso
fx(1),x(2),x(3)(x1,x2,x3)=3!1θ3I{x1≤x2≤⋯≤xn}(x1,⋯,x3)
fx(1),x(3)(u,v)
fx(1),x(3)(u,v)=∫fx(1),x(2),x(3)(u,x2,v)dx2
isso é
fx(1),x(3)(u,v)=∫3!1θ3I{x1=u≤x2≤x3=v}(u,x,v)dx=3!1θ3[v−u]
para isso
f(x(2)|x(2)=u,x(3)=v)=f(x(1)=u,x(2),x(3)=v)f(x(1)=u,x(3)=v)=3!1θ3Iu≤x2≤⋯≤v(u,x2,v)3!1θ3[v−u]=[v−u]−1I{u<x2<v}
que dá
E[X(2)|X(1)=u,X(3)=v]=[v−u]−1∫vuxdx=[v−u]−1[v2−u2]2=u+v2
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