Valor esperado da razão de variáveis ​​aleatórias correlacionadas?

Para variáveis ​​aleatórias independentes e , existe uma expressão de formulário fechado para$\alpha$$\beta$

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right]$

em termos dos valores e variações esperados de e ? Caso contrário, existe um bom limite inferior a essa expectativa?$\alpha$$\beta$

Atualização: Também posso mencionar que e . Posso controlar a variação em e , e tenho em mente uma configuração em que as variações de e são bem pequenas em relação a . Talvez os dois desvios padrão sejam menores que 0,3.$\mathbb E[\alpha] = 1$$\mathbb E[\beta] = 0$$\alpha$$\beta$$\alpha$$\beta$$\mathbb E[\alpha]$

Pensei em um limite inferior, embora não ache muito apertado. Eu apenas escolho um valor arbitrário menor que a média de e outro valor arbitrário em torno da média de . Como a expectativa é de uma variável aleatória não negativa e porque e são independentes,β 2 α $\alpha$$\beta^2$$\alpha$$\beta$

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) \mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4})$ .

Pela desigualdade de Chebyshev,

$\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) = \mathbb P(\alpha - 1 \ge -\frac{1}{2}) \ge \mathbb P(|\alpha - 1| \le \frac{1}{2}) = 1 - \mathbb P(|\alpha - 1| \ge \frac{1}{2}) \ge 1 - 4\mathrm{var}(\alpha)$

Pela desigualdade de Markov,

$\mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4}) = 1 - \mathbb P(\beta^2 \ge\frac{1}{4}) \ge 1 - 4 \mathbb E[\beta^2] = 1 - 4\mathrm{var}(\beta)$

Portanto,

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - 4 * 0.3^2) (1 - 4 * 0.3^2) > 0.28$

Existe uma maneira mais padrão / sistemática de fazer o que estou fazendo aqui, que fica mais restrita?