É Se sim, como provar?

Faz ? Além disso, o que dizer de Estou confuso com as relações. Parece intuitivamente ser o caso. Se estiver correto, como eu o provo matematicamente. Eu pesquisei neste site e em outros lugares ...E [ E ( X | Y = y ) | Z = z ] = E [ X | Y = y , Z = z $E[E(X|Y)|Z] =E[X|Y,Z]$$E[E(X|Y=y)|Z=z] =E[X|Y=y,Z=z]$

Essas duas expectativas condicionais diferem em geral:

$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z] \ne\mathbb{E}[X|Y,Z]$$

De fato, estritamente falando, eles nem sequer vivem no mesmo espaço funcional, pois o primeiro é uma função de , wrt mensurável , a álgebra induzida por , enquanto o segundo é uma função de , portanto, wrt mensurável , a álgebra induzida por ,σ ( Z ) σ Z ( Y , Z ) σ ( Y , Z ) σ ( Y , Z $Z$$\sigma(Z)$$\sigma$$Z$$(Y,Z)$$\sigma(Y,Z)$$\sigma$$(Y,Z)$

Como um contra-exemplo, considere a configuração quando

1. $X$ e são independentes$Y$
2. Z E [ X | Z ] ≠ E [ X $X$ e são dependentes, com$Z$$\mathbb{E}[X|Z]\ne \mathbb{E}[X]$

Então, devido à independência entre e , e, portanto,Y E ( X | Y ) = E [ X ] E [ E ( X | Y ) | Z ] = E [ X ] ≠ E [ X | Y , Z $X$$Y$$\mathbb{E}(X|Y)=\mathbb{E}[X]$

Em vez disso, uma igualdade válida é que vale para todas as relações de dependência entre as três variáveis ​​aleatórias.

Notações: A diferença entre as notações e é aqueleE [ E ( X | Y = y ) | Z = z $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$

1. Z Y Y $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ é uma variável aleatória, transformação da variável aleatória (e não da variável aleatória já que Y também é condicionado em );$Z$$Y$$Y$$Z$
2. $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$ é uma função aparentemente de e , mas, na verdade, apenas de (como explicado abaixo) que não tem um significado claro de um ponto de vista probabilístico . De fato, para um determinado valor , é uma constante para a qual assumir uma expectativa condicional condicional à realização faz pouco sentido, pois também retorna . Por exemplo, se depende de e como uma variável aleatória, para uma determinada realização de$y$$z$$y$$y$$\mathbb{E}(X|Y=y)$$Z=z$$\mathbb{E}(X|Y=y)$$X$$Y$$X$$y$$Y$e de , é uma constante que geralmente difere e de . Mas não é uma realização da variável aleatória . A realização correta é$Z$$z$$\mathbb{E}(X|Y=y)$$\mathbb{E}(X)$$\mathbb{E}(X|Y=y,Z=z)$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z=z]$