Questão
Se forem IID, calcule , onde .
Tentativa : Verifique se o abaixo está correto.
Digamos, tomamos a soma dessas expectativas condicionais de modo que,
Isso significa que cada desde que são IID.
Portanto, . Está correto?
probability
self-study
mathematical-statistics
conditional-probability
conditional-expectation
Aprendendo
fonte
fonte
Respostas:
A ideia está certa - mas há uma questão de expressá-la um pouco mais rigorosamente. Vou, portanto, focar na notação e expor a essência da idéia.
Vamos começar com a ideia de permutabilidade:
Claramente, o iid implica permutável.
Por uma questão de notação, escreverXσEu= Xσ( I ) para o Euº componente de Xσ e deixar Tσ= ∑i = 1nXσEu= ∑i = 1nXEu=T.
Sejaj qualquer índice e σ seja qualquer permutação dos índices que envia 1 para j=σ(1). (Esse σ existe porque sempre é possível trocar 1 e j. ) A permutabilidade de X implica
porque (na primeira desigualdade) apenas substituímosX pelo vetor idêntico- mente distribuído Xσ. Este é o cerne da questão.
Consequentemente
de onde
fonte
Deixe queX=(X1,…,Xn)T e 1=(1,…,1)T de modo T=1TX . Estamos condicionando o evento em que 1TX=t por algum t∈R , é como desenhar gaussianos multivariados suportados em Rn mas apenas olhando os que terminam no espaço afim {x∈Rn:1Tx=t} . Então, queremos saber a média dascoordenadasx1 dos pontos que aterram neste espaço afim (não importa que seja um subconjunto de medida zero).
ConhecemosX∼N(μ1,I)
portanto, temos um Gaussiano esférico com um vetor médio constante, e o vetor médio μ1 está na mesma linha que o vetor normal do hiperplano xT1=0 .
Isso nos dá uma situação como a imagem abaixo:
A idéia principal: primeiro imagine a densidade sobre o subespaço afinadoHt:={x:xT1=t} . A densidade de X é simétrica em torno de x1=x2 já que E(X)∈span 1 . A densidade também será simétrica em Ht como Ht também é simétrico na mesma linha, e o ponto em torno do qual é simétrico é a interseção das linhas x1+x2=t ex1=x2 . Isso acontece parax=(t/2,t/2) .
Para representarE(X1|T) , podemos imaginar amostragens repetidas vezes e, sempre que obtemos um ponto em Ht pegamos apenas a coordenada x1 e salvamos isso. A partir da simetria da densidade em Ht a distribuição do x1 coordenadas também será simétrica, e que vai ter o mesmo ponto central de t/2 . A média de uma distribuição simétrica é o ponto central de simetria, então isso significa E(X1|T)=T/2 , e que E(X1|T)=E(X2|T) uma vez que X1 e X2 podem ser alternados sem afetar nada.
Em dimensões mais altas, fica difícil (ou impossível) visualizar exatamente, mas a mesma idéia se aplica: temos um gaussiano esférico com média no intervalo de1 e estamos vendo um subespaço afim que é perpendicular a isso. O ponto de equilíbrio da distribuição no subespaço ainda será a interseção do span 1 e {x:xT1=t} que está em x=(t/n,…,t/n) , e a densidade ainda é simétrica então esse ponto de equilíbrio é novamente a média.
Novamente, isso não é uma prova, mas acho que dá uma idéia decente do porquê você esperaria esse comportamento em primeiro lugar.
Além disso, como alguns notaram @StubbornAtom, isso não exige queX seja gaussiano. Em 2D, observe que, se X é permutável, então f(x1,x2)=f(x2,x1) (mais geralmente, f(x)=f(xσ) ), portanto f deve ser simétrico sobre a linha x1=x2 . Nós também temos E(X)∈span 1 então tudo o que eu disse sobre a "ideia-chave" na primeira foto ainda é exatamente válido. Aqui está um exemplo em que oXi é iid de um modelo de mistura gaussiano. Todas as linhas têm o mesmo significado que antes.
fonte
Penso que a sua resposta está certa, embora não tenha certeza absoluta sobre a linha do assassino na sua prova, sobre a verdade "porque são iid". Um caminho mais prolixo para a mesma solução é o seguinte:
fonte