Se forem IID, calcule , onde

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Questão

Se forem IID, calcule , onde .X1,,XnN(μ,1)E(X1T)T=iXi


Tentativa : Verifique se o abaixo está correto.

Digamos, tomamos a soma dessas expectativas condicionais de modo que, Isso significa que cada desde que são IID.

iE(XiT)=E(iXiT)=T.
E(XiT)=TnX1,,Xn

Portanto, . Está correto?E(X1T)=Tn

Aprendendo
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Os 's não são iid condicional em T , mas têm uma distribuição conjunta trocável. Isso é o que implica que suas expectativas condicionais são todas iguais (a T / n ). XiTT/n
Jarle Tufto 2/11
@JarleTufto: O que você quer dizer com "distribuição conjunta intercambiável"? Distribuição conjunta de e T ? XiT
aprendendo
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Isso significa que a distribuição conjunta de é a mesma que a de X 2 , X 3 , X 1 (e todas as outras permutações). Consulte en.wikipedia.org/wiki/Exchangeable_random_variables . Ou veja a resposta do @ whuber! X1,X2,X3X2,X3,X1
Jarle Tufto
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Notavelmente, a resposta é independente da distribuição de . X1,,Xn
StubbornAtom

Respostas:

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A ideia está certa - mas há uma questão de expressá-la um pouco mais rigorosamente. Vou, portanto, focar na notação e expor a essência da idéia.


Vamos começar com a ideia de permutabilidade:

Uma variável aleatória X=(X1,X2,,Xn) é permutável quando as distribuições das variáveis ​​permutadas Xσ=(Xσ(1),Xσ(2),,Xσ(n)) são todos iguais para todas as permutações possíveis σ .

Claramente, o iid implica permutável.

Por uma questão de notação, escrever Xiσ=Xσ(i) para o ith componente de Xσ e deixar

Tσ=i=1nXiσ=i=1nXi=T.

Seja j qualquer índice e σ seja qualquer permutação dos índices que envia 1 para j=σ(1). (Esse σ existe porque sempre é possível trocar 1 e j. ) A permutabilidade de X implica

E[X1T]=E[X1σTσ]=E[XjT],

porque (na primeira desigualdade) apenas substituímos X pelo vetor idêntico- mente distribuído Xσ. Este é o cerne da questão.

Consequentemente

T=E[TT]=E[i=1nXiT]=i=1nE[XiT]=i=1nE[X1T]=nE[X1T],

de onde

E[X1T]=1nT.

whuber
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Esta não é uma prova (e +1 na resposta do @ whuber), mas é uma maneira geométrica de construir alguma intuição sobre por que E(X1|T)=T/n é uma resposta sensata.

Deixe que X=(X1,,Xn)T e 1=(1,,1)T de modo T=1TX . Estamos condicionando o evento em que 1TX=t por algum tR , é como desenhar gaussianos multivariados suportados em Rn mas apenas olhando os que terminam no espaço afim {xRn:1Tx=t} . Então, queremos saber a média dascoordenadasx1 dos pontos que aterram neste espaço afim (não importa que seja um subconjunto de medida zero).

Conhecemos

XN(μ1,I)
portanto, temos um Gaussiano esférico com um vetor médio constante, e o vetor médio μ1 está na mesma linha que o vetor normal do hiperplano xT1=0 .

Isso nos dá uma situação como a imagem abaixo: enter image description here

A idéia principal: primeiro imagine a densidade sobre o subespaço afinado Ht:={x:xT1=t} . A densidade de X é simétrica em torno de x1=x2 já que E(X)span 1 . A densidade também será simétrica em Ht como Ht também é simétrico na mesma linha, e o ponto em torno do qual é simétrico é a interseção das linhas x1+x2=t ex1=x2 . Isso acontece parax=(t/2,t/2) .

Para representar E(X1|T) , podemos imaginar amostragens repetidas vezes e, sempre que obtemos um ponto em Ht pegamos apenas a coordenada x1 e salvamos isso. A partir da simetria da densidade em Ht a distribuição do x1 coordenadas também será simétrica, e que vai ter o mesmo ponto central de t/2 . A média de uma distribuição simétrica é o ponto central de simetria, então isso significa E(X1|T)=T/2, e que E(X1|T)=E(X2|T) uma vez que X1 e X2 podem ser alternados sem afetar nada.

Em dimensões mais altas, fica difícil (ou impossível) visualizar exatamente, mas a mesma idéia se aplica: temos um gaussiano esférico com média no intervalo de 1 e estamos vendo um subespaço afim que é perpendicular a isso. O ponto de equilíbrio da distribuição no subespaço ainda será a interseção do span 1 e {x:xT1=t} que está em x=(t/n,,t/n) , e a densidade ainda é simétrica então esse ponto de equilíbrio é novamente a média.

Novamente, isso não é uma prova, mas acho que dá uma idéia decente do porquê você esperaria esse comportamento em primeiro lugar.


Além disso, como alguns notaram @StubbornAtom, isso não exige que X seja gaussiano. Em 2D, observe que, se X é permutável, então f(x1,x2)=f(x2,x1) (mais geralmente, f(x)=f(xσ) ), portanto f deve ser simétrico sobre a linha x1=x2 . Nós também temos E(X)span 1 então tudo o que eu disse sobre a "ideia-chave" na primeira foto ainda é exatamente válido. Aqui está um exemplo em que oXi é iid de um modelo de mistura gaussiano. Todas as linhas têm o mesmo significado que antes.

enter image description here

jld
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Penso que a sua resposta está certa, embora não tenha certeza absoluta sobre a linha do assassino na sua prova, sobre a verdade "porque são iid". Um caminho mais prolixo para a mesma solução é o seguinte:

E(xi|T)

E(xi|T)i=1N1Nxi

gazza89
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Observe que o xEu|T não pode ser iid, pois eles são limitados a somar T. Se você saben-1 deles, você conhece o nthum também.
jbowman
sim, mas fiz algo mais sutil, eu disse que se você amostrasse várias vezes com substituição, cada amostra seria uma amostra iid de uma distribuição discreta.
precisa saber é o seguinte
Sorry! Misplaced the comment, it should have been to the OP. It was meant in reference to the statement "It means that each E(XiT)=Tn since X1,,Xn are IID."
jbowman