Prove que uma distribuição é simétrica usando momentos

Dada, uma variável aleatória X cuja média, variância e quarto momento central são 0, 2 e 4, respectivamente. Agora, como eu provo isso

(1) terceiro momento é 0

(2) distribuir é simétrico em torno de 0 e

(3) X é limitado.

Com as informações acima, a única coisa que pude encontrar foi que a distribuição é platykurtic. Mesmo que se prove que o terceiro momento é zero, como isso pode levar à simetria? A simetria não pode ser comprovada apenas pela plotagem dos dados?

Existe algum erro na pergunta?

É fato que a função

$$\phi_Y: n \to \mathbb{E}(|Y|^n)^{1/n},\ n \gt 0$$

(Conhecido como $L_n$ norma de $Y$) não está diminuindo. A demonstração em https://stats.stackexchange.com/a/244221 usa a desigualdade de Jensen (aplicada a uma função estritamente convexa). Essa desigualdade é uma desigualdade estrita sempre que$|Y|$ pode assumir mais de um valor com probabilidade positiva.

De locação $Y=X - \bar X$ ser a versão centralizada do $X$, a partir dos valores fornecidos da variância e do quarto momento (central), deduzimos

$$\mathbb{E}(|Y|^4)^{1/4} = 4^{1/4} = \sqrt{2} = \operatorname{Var}(X)^{1/2} = \mathbb{E}(|Y|^2)^{1/2},$$

que mostra $\phi_Y(4) = \phi_Y(2)$. Consequentemente, porque$\phi$ não diminuiu, $|Y|$ é quase certamente constante, de onde $X$ pode assumir no máximo dois valores distintos $\bar X \pm \sqrt{2}$(quase com certeza). É imediato que$X$ assume cada um desses valores com igual probabilidade: ou seja, $X$ deve ser uma versão deslocada de um Bernoulli$(1/2)$ variável que foi dimensionada por $\sqrt{8}$.

A demonstração de (1) (zero terceiro momento), (2) (simetria sobre $0$) e (3) (limite) agora é trivial.

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Observe que as mesmas conclusões podem ser tiradas sempre que houver dois momentos $k \ne n$ para qual $\phi_Y(k)=\phi_Y(n)$.

Aqui está uma abordagem. Isso responde$a$ provavelmente $b$, e esperançosamente $c$.

Resumindo o que sabemos: $E[X]=0$, $E[X^2]=\mbox{Var}(X)=2$ e $E[X^4]=4$. Deixei$m_i:=E[X^i]$. Momentos de qualquer distribuição de probabilidade devem satisfazer uma definição positiva , no sentido de que qualquer$n\times n$sub-matriz da matriz de momentos de Hankel seja positiva definida:

$$H:=\left(\begin{matrix} m_0 & m_1 & m_2 & \cdots \\ m_1 & m_2 & m_3 & \cdots \\ m_2 & m_3 & m_4 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{matrix}\right)$$ .

Picking $n=3$ nos dá:

$$H_4=\left(\begin{matrix} m_0 & m_1 & m_2 \\ m_1 & m_2 & m_3 \\ m_2 & m_3 & m_4 \\ \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & m_3 \\ 2 & m_3 & 4 \\ \end{matrix}\right),$$

e um cálculo rápido da mão fornece: $\mbox{det}(H_4)=-m_3^2$. Desde a$H_4$ deve ser positivo, segue-se que $m_3=0$.

Para mostrar isso $X$é simétrico em torno de 0, basta mostrar que todos os momentos ímpares são zero. Eu acredito que você pode mostrar isso por indução nas sub-matrizes de Hankel.

Para mostrar isso $X$ é limitado, a ideia que tive é a seguinte equivalência:

$$P(|X|\leq R)=1 \Leftrightarrow E[|X|^k]\leq R^k, k=1,2,\cdots .$$

Talvez você possa mostrar isso das matrizes Hankel?