Prove que uma distribuição é simétrica usando momentos

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Dada, uma variável aleatória X cuja média, variância e quarto momento central são 0, 2 e 4, respectivamente. Agora, como eu provo isso

(1) terceiro momento é 0

(2) distribuir é simétrico em torno de 0 e

(3) X é limitado.

Com as informações acima, a única coisa que pude encontrar foi que a distribuição é platykurtic. Mesmo que se prove que o terceiro momento é zero, como isso pode levar à simetria? A simetria não pode ser comprovada apenas pela plotagem dos dados?

Existe algum erro na pergunta?

atormentar
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Conheço apenas uma distribuição que, até a localização e a escala, tem esses momentos: um Bernoulli(1 1/2). Observe que sua curtose é1 1 (seu excesso de curtose é -2) Portanto, você pode tentar mostrar que não há outras distribuições nesses momentos.
whuber

Respostas:

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É fato que a função

ϕY:nE(|Y|n)1 1/n, n>0 0

(Conhecido como eun norma de Y) não está diminuindo. A demonstração em https://stats.stackexchange.com/a/244221 usa a desigualdade de Jensen (aplicada a uma função estritamente convexa). Essa desigualdade é uma desigualdade estrita sempre que|Y| pode assumir mais de um valor com probabilidade positiva.

De locação Y=X-X¯ ser a versão centralizada do X, a partir dos valores fornecidos da variância e do quarto momento (central), deduzimos

E(|Y|4)1 1/4=41 1/4=2=Var(X)1 1/2=E(|Y|2)1 1/2,

que mostra ϕY(4)=ϕY(2). Consequentemente, porqueϕ não diminuiu, |Y| é quase certamente constante, de onde X pode assumir no máximo dois valores distintos X¯±2(quase com certeza). É imediato queX assume cada um desses valores com igual probabilidade: ou seja, X deve ser uma versão deslocada de um Bernoulli(1 1/2) variável que foi dimensionada por 8.

A demonstração de (1) (zero terceiro momento), (2) (simetria sobre 0 0) e (3) (limite) agora é trivial.


Observe que as mesmas conclusões podem ser tiradas sempre que houver dois momentos kn para qual ϕY(k)=ϕY(n).

whuber
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Na sua resposta, acho que você quis dizer uma desigualdade estrita ao se referir à Desigualdade de Jensen. Há também uma condição de que a função seja convexa ou côncava.
Michael R. Chernick
@ Michael Obrigado; na verdade, eu quis dizer "desigualdade". A função em questão éylog(y)que é estritamente convexa, como demonstrado no encadeamento vinculado.
whuber
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Aqui está uma abordagem. Isso respondea provavelmente b, e esperançosamente c.

Resumindo o que sabemos: E[X]=0, E[X2]=Var(X)=2 e E[X4]=4. Deixeimi:=E[Xi]. Momentos de qualquer distribuição de probabilidade devem satisfazer uma definição positiva , no sentido de que qualquern×nsub-matriz da matriz de momentos de Hankel seja positiva definida:

H: =(m0 0m1 1m2m1 1m2m3m2m3m4)
.

Picking n=3 nos dá:

H4=(m0 0m1 1m2m1 1m2m3m2m3m4)=(1 10 020 02m32m34),

e um cálculo rápido da mão fornece: det(H4)=-m32. Desde aH4 deve ser positivo, segue-se que m3=0 0.

Para mostrar isso Xé simétrico em torno de 0, basta mostrar que todos os momentos ímpares são zero. Eu acredito que você pode mostrar isso por indução nas sub-matrizes de Hankel.

Para mostrar isso X é limitado, a ideia que tive é a seguinte equivalência:

P(|X|R)=1 1E[|X|k]Rk,k=1 1,2,.

Talvez você possa mostrar isso das matrizes Hankel?

Alex R.
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