Como o ângulo de elevação esférico é distribuído quando são escolhidos de maneira uniforme e normal?

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Como acompanhamento de Como a coordenada polar, , é distribuída quando e se ?θ(x,y)U(1,1)×U(1,1)(x,y)N(0,1)×N(0,1)

Suponha como são distribuídos e ?(x,y,z)U(10,10)×U(10,10)×U(10,10)θϕ

É claramente das maravilhosas respostas da pergunta anterior que parece com isso: θinsira a descrição da imagem aqui

Mas por que o não obtém a máxima probabilidade em ?ϕϕ=π/4

insira a descrição da imagem aqui

Se selecionarmos normalmente na forma de distribuição, obteremos estes 2 pdfs:x,y,z

insira a descrição da imagem aqui

Existe um nome para distribuições e nos dois casos? Para mim, parece com distribuição no intervalo .θϕβ[90,90]

0x90
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Esse último não é uma distribuição beta. Pense em funções trigonométricas; observando como os ângulos se relacionam com as coordenadas cartesianas.
Glen_b -Replica Monica
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Já que estamos considerando apenas os ângulos, você pode projetar na esfera; no caso gaussiano, você terá uma distribuição uniforme na esfera, mas observe que nessa situação a latitude não é uniforme . Várias perguntas no local discutem alguns dos problemas, mas argumentos básicos não muito diferentes da pergunta anterior podem levá-lo até lá. Veja, por exemplo, a discussão se o ângulo de inclinação estiver aqui
Glen_b -Reinstate Monica
Eu quis perguntar antes - você deve definir seu e . Supus o que são da sua discussão, mas seria bom confirmar que estamos na mesma página. Publiquei uma resposta agora que deve esclarecer por que não é distribuída beta. θϕ
Glen_b -Replica Monica
Não acredito no seu segundo gráfico. Quando os pontos são distribuídos uniformemente em um cubo, uma latitude ( ) de não terá uma densidade zero! Os dois últimos histogramas são de fato distribuições Beta; esse resultado generaliza para dimensões mais altas. Você pode encontrar contas disso aqui: pesquise "sphere" e "Beta" juntos. ϕ±π/2
whuber
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Peço desculpas: você está correto. Consegui confirmar os detalhes dos seus histogramas. Preciso recalibrar minha intuição - e, portanto, sou grato pelo que você apontou (+1).
whuber

Respostas:

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Na minha discussão aqui, estou assumindo que é efetivamente uma longitude e é efetivamente uma latitude. Talvez as coordenadas esféricas mais típicas usem um ângulo abaixo do pólo norte, e não acima do equador, e troquem os papéis dos dois símbolos a partir disso - mas não há problema em lidar com isso de qualquer maneira, então vou ficar com o que sua notação parece ser.θϕ

Gráfico indicando os ângulos como eles parecem ser usados ​​na pergunta

Observe que a distribuição do raio não é de interesse aqui, apenas os ângulos, para que possamos projetar tudo em uma esfera unitária sem alterar os ângulos. Isso é bastante útil no caso normal.

Com uma distribuição esférica simétrica como o padrão tridimensional normal, a aparência da distribuição da inclinação tem a ver com o fato de que há muito mais área na superfície de uma esfera perto do equador do que perto dos pólos.

Gráfico mostrando mais área em latitudes próximas ao equador

Se você seguir a matemática (ou escrever um argumento geométrico em termos de elementos de probabilidade semelhantes à questão 2D anterior), poderá entender que a inclinação deve ter uma densidade proporcional a . Aqui está um argumento geométrico que deve motivá-lo nos termos "elementos da probabilidade":cos(ϕ)

A imagem que mostra o raio na latitude phi é cos (phi)

Como o raio no equador é 1 e o raio na latitude é , a circunferência na latitude é proporcional a e, portanto, a densidade em é proporcional a .ϕcos(ϕ)ϕcos(ϕ)ϕcos(ϕ)


Caixa uniforme : com o uniforme 3D normalizado para raio constante, você não tem uniformidade de densidade na esfera pelo mesmo motivo que não possuímos no caso 2D - quando você projeta na esfera, há muito mais " densidade "na esfera próxima aos ângulos onde estão os cantos do que onde estão os lados (com partes próximas ao meio das bordas no meio) - porque há mais volume do cubo para ângulos próximos aos cantos do que para ângulos perto do meio dos rostos.

Podemos ver isso gerando muitos valores aleatórios uniformemente no cubo e projetando-os na esfera. Como há mais volume perto dos cantos do que perto das faces do cubo, há uma densidade maior olhando "para dentro" pelos cantos do que pelas faces. Se traçarmos a altura (lembre-se de que esse é um valor-z projetado, , em que ) acima do equador em relação à longitude, obtemos o gráfico superior abaixo:z=z/rr=x2+y2+z2

gráfico de muitos valores uniformes aleatórios no cubo $ [- 1,1] ^ 3 $ projetados na esfera unitária, transformados em (i) altura / longitude e (ii) latitude / longitude

Essa altura corresponde ao lado vertical do triângulo retângulo no diagrama anterior; essa altura é o de ( ). Para converter isso em latitude ( ), pegaríamos o arco da altura vertical projetada, que é o que vemos no gráfico inferior. Isso "estica" as coisas mais à medida que nos aproximamos do polo, fazendo com que a densidade em função da latitude caia para 0 no polo norte e sul (tanto para o caso uniforme quanto para o normal).sinϕz=sin(ϕ)ϕ

A densidade para será então a integral dessa densidade bivariada sobre .ϕθ

Imagem da densidade bivariada de teta-phi mostrando integração para calcular marginal para phi

Observar o marginal para (ou seja, faixas descendo com valores fixos de ) quatro picos na densidade de como você observa - na verdade, isso segue diretamente do caso 2D, mas, como agora vemos, ele também cria um par de picos na densidade de do equador, correspondendo a uma região na superfície da esfera unitária onde os cantos e as bordas superior / inferior do cubo se projetam.θθθϕ

Glen_b -Reinstate Monica
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Por curiosidade, qual programa você usa para desenhar?
0x90 25/01
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@ 0x90 Eu fiz esses desenhos 3D em tinta. À mão. (Provavelmente, você pode remover essa última trama na sua pergunta, uma vez que foi baseado em uma colocação errada de parênteses.)
Glen_b -Reinstate Monica
O caso uniforme não pode dar o histograma de mostrado na pergunta. Assim, uma resposta quantitativa a essa parte da pergunta seria mais útil. ϕ
whuber
@whuber Na verdade, eu concordo com o enredo de 0x90 para . Olhando para o meu desenho da fatia através de uma esfera, depois de converter em pontos na esfera unitária (em coordenadas retangulares), o ângulo acima do equador seria o arco da coordenada z, não seria? Eu acho que produz o que vemos para os dois histogramas de em questãoϕϕ
Glen_b -Reinstate Monica
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A distribuição cumulativa complementar para a latitude esférica oferece a chance de um ponto aleatório no cubo estar acima do cone que representa graficamente a função . Como esses pontos são distribuídos uniformemente por todo o cubo (que tem um volume de ), essa chance é de 1/8 do volume entre o cone e a parte superior do cubo. Quando a latitude excede , esse volume é o de um cone direito com altura e base , igual aϕ[1,1]3z=cot(ϕ)x2+y28π/41cot(ϕ)

F+(ϕ)=18π3cot2(ϕ).

Veja os dois gráficos à direita na figura.

Quando a latitude é menor que , esse é o volume da interseção de um cone semi-infinito e do cubo. Uma integração em coordenadas polares dá a expressãoarctan(1/2)

F(ϕ)=18(443tan(ϕ)(2+2tanh1(tan(π8)))).

Veja os dois gráficos mais à esquerda na figura.

Figuras

As derivadas negativas dessas expressões dão a densidade. Entre e é uma região de transição em que a interseção do cone com o cubo é complicada. Embora uma expressão exata pudesse ser desenvolvida, seria confusa. O que sabemos é que a densidade deve mudar continuamente da derivada de para a derivada de pois varia entre esses pontos. Isso é mostrado em um histograma de um milhão de valores simulados (somente da metade superior do cubo - a metade inferior será uma imagem espelhada). A curva de ouro é o gráfico de enquanto a curva vermelha à direita é o gráfico de arctan(1/2)π/5π/4FF+ϕddϕFddϕF+.

Histograma

Isso esclarece por que os modos não estão em , mas devem estar entre esses valores e .ϕ=±π/4±arctan(1/2)

whuber
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