Prova de que, se existe um momento superior, também existe um momento inferior

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O momento de uma variável aleatória é finito se $r$ $X$

E (| X^{r} |) < \infty

$\mathbb E(|X^r|)< \infty$

Estou tentando mostrar que, para qualquer número inteiro positivo , o ésimo momento também é finito. $s<r$ $s$ $\mathbb E[|X^s|]$

self-study moments function nona
fonte

Isso é lição de casa? Se sim, o que você tentou até agora? Além disso, tentei tornar sua pergunta mais legível. Informe-me se cometi um erro.

Gschneider

Li o livro de Billingsley e procurei na Internet, mas não existe prova exata. O que eu descobri é apenas uma pista, talvez a desigualdade de Jensen possa ser usada.

Nona

1

Considere reescrever

como

e veja se isso o leva a algum lugar.

| X^{r} |

$|X^r|$

| X^{s} \cdot X^{r - s} |

$|X^s \cdot X^{r-s}|$

Gschneider

3

Há uma diferença entre um momento existente e ser finito . Em particular, um momento pode existir, mas ser infinito. A terminologia a que você está sendo apresentado é um pouco imprecisa. Em qualquer caso, este é um resultado padrão sobre

espaços; não é verdade que "não existe prova exata". :)

L_{p}

$L_p$

cardeal

Respostas:

19

$0<s<r \Longrightarrow \forall X \, |X|^s \le \max(1, |X|^r)$

StasK
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Bem. Você também pode provar isso com a ajuda da desigualdade de Jensen.

Stéphane Laurent

8

max (1, | X |^{r}) \leq 1 + | X |^{r}

$\max(1,|X|^r) \leq 1 + |X|^r$

| X |^{r} = (| X |^{s})^{r / s}

$|X|^r = (|X|^s)^{r/s}$

r / s \geq 1

$r/s \geq 1$

cardinal

1

| X |^{r}

$|X|^r$