Qual é a maneira mais fácil de ver se a afirmação a seguir é verdadeira?
Suponha . Mostre .
Observe que .
Por , isso significa que .
É fácil ver que . Além disso, também temos que sob a parametrização
Solução dada pela resposta de Xi'an : Usando a notação na pergunta original:
A partir disso, obtemos que 1) .
self-study
distributions
exponential
order-statistics
jacobian
Clarinetist
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Respostas:
A prova é apresentada na Mãe de todos os livros de geração aleatória, a Geração de variáveis aleatórias não uniforme de Devroye , na p.211 (e é muito elegante!):
Prova. Como o densidade conjunta da estatística da ordem escreve como Definindo , a alteração de variáveis de a tem uma constante jacobiana [aliás igual amas isso não precisa ser calculado] e, portanto, a densidade de (E(1),…,E(n
Uma alternativa sugerida por Gérard Letac para mim é verificar se tem a mesma distribuição que (em virtude da propriedade sem memória), que faz a derivação de direto.( E 1
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Apresento aqui o que foi sugerido nos comentários por @jbowman.
Deixe uma constante . Deixe seguir um e considere . Entãoa ≥ 0 YEu Exp (1) ZEu= YEu- um
que é a função de distribuição de .Exp (1)
Vamos descrever isso: a probabilidade de um rv cair em um intervalo específico (o numerador na última linha), uma vez que excederá o limite inferior do intervalo (o denominador), depende apenas do comprimento do intervalo e não onde esse intervalo é colocado na linha real.Exp (1) Esta é uma encarnação da propriedade " sem memória " da distribuição exponencial, aqui em um cenário mais geral, livre de interpretações de tempo (e vale para a distribuição exponencial em geral)
Agora, condicionando forçamos a não ser negativo e, crucialmente, o resultado obtido mantém . Portanto, podemos afirmar o seguinte:{ YEu≥ a } ZEu ∀a∈R+
Se , então .Yi∼Exp(1) ∀Q≥0:Zi=Yi−Q≥0 ⟹ Zi∼Exp(1)
Podemos encontrar um livre para assumir todos os valores reais não negativos e para os quais a desigualdade exigida sempre se mantém (quase certamente)? Se pudermos, podemos dispensar o argumento do condicionamento.Q≥0
E de fato podemos. É a estatística de ordem mínima , , . Então nós obtivemosQ=Y(1) Pr(Yi≥Y(1))=1
Isso significa que
Portanto, se a estrutura probabilística de permanecer inalterada se subtrairmos a estatística de ordem mínima, segue-se que as variáveis aleatórias e onde independente, também são independentes, pois o possível vínculo entre eles, , não afeta a estrutura probabilística.Yi Zi=Yi−Y(1) Zj=Yj−Y(1) Yi,Yj Y(1)
Então a soma contém iid variáveis aleatórias (e um zero), e assim∑ni=1(Yi−Y(1)) n−1 Exp(1)
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