Motivação para distribuição gama com um parâmetro não inteiro

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A distribuição Erlang tem uma interpretação direta em termos de tempo de espera para a ocorrência de um número predefinido de eventos em um processo de Poisson ou a soma de um número predefinido de variáveis ​​aleatórias exponenciais. A distribuição gama é mais geral, pois permite um parâmetro não inteiro, mas geralmente recebe a mesma motivação. Sei que essa questão foi levantada várias vezes, mas não vi uma resposta satisfatória, por isso me arriscarei a colocá-la novamente: qual é o exemplo canônico ou pelo menos prototípico de um processo aleatório que dá origem a alguma variável aleatória distribuída Gamma, que não é ao mesmo tempo uma variável aleatória Erlang?

macleginn
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Por um exemplo ... e quanto a somas de quadrados de desvio da média das variáveis ​​normais do iid? ...
Glen_b -instala Monica
@Glen_b, este é um exemplo pertinente, mas parece ter mais a ver com testes de hipóteses do que com processos aleatórios per se. Isso quer dizer que, na minha experiência bastante limitada, na literatura aplicada, os autores geralmente não assumem que estão lidando com somas de normais, mas assumem que há algumas distribuições exponenciais subjacentes.
macleginn
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O que exatamente você considera um "processo aleatório"? Podemos traduzir prontamente o comentário de @ Glen em uma estrutura de processo aleatório padrão. Por exemplo, uma caminhada aleatória nos números naturais, começando em0 0, tendo incrementos independentes que são distribuídos como o quadrado de uma distribuição normal padrão, exibirá distribuições Gamma marginais que são meios inteiros.
whuber
@whuber, eu quis dizer processos aleatórios que podem se aproximar de cenários do mundo real.
macleginn
Em que sentido, então, você concebe que o teste de hipóteses não é um "cenário do mundo real"?
whuber

Respostas:

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Parece que você está pedindo exemplos da "vida real" em que as distribuições gama são usadas para modelar alguns observáveis ​​do mundo real representados por variáveis ​​aleatórias. Há muitos exemplos assim. Pegue a distribuição Erlang que você mencionou primeiro: o caso do parâmetro inteiro segue de algum modelo de probabilidade teórico para tempos de espera, mas para modelar diretamente os tempos de espera no mundo real, a família gama com parâmetro não inteiro fornecerá melhor flexibilidade. Alguns outros exemplos podem ser encontrados aqui: Exemplos da vida real de distribuições comuns

As distribuições gama podem modelar variáveis ​​aleatórias positivas, seguro de precipitação (Uma citação desse artigo, os climatologistas preferem a distribuição gama, porque é suficientemente flexível para caracterizar adequadamente a precipitação cumulativa em períodos de duração variável e vincular a uma versão livremente acessível ).

Outro uso seguro da regressão gama , em hidrologia para modelagem de chuvas ou inundações, ... Uso de controle de inventário da distribuição Gamma, citação desse documento: No campo de controle de inventário de produtos acabados, descobrimos que as distribuições de freqüência observadas da demanda têm as seguintes características gerais:

  • eles existem apenas para valores não negativos de demanda
  • À medida que a demanda média de itens aumenta, as distribuições observadas mudam de:

    (a) monotônico diminuindo para

    (b) distribuições unimodais fortemente inclinadas para a direita e, finalmente, para

    (c) distribuições normais do tipo (truncadas em zero)

... e eles observam que a família de distribuições Gamma combina muito bem com esse comportamento qualitativo. Este é um ponto importante na modelagem, não estamos interessados ​​apenas em como uma determinada distribuição individual corresponde a um determinado conjunto de dados, estamos interessados ​​no comportamento geral de uma família de distribuições .

O clássico capítulo 8 de McCullagh / Nelder, "Modelos para dados com coeficiente de variação constante", usa principalmente a distribuição gama, regressão gama.

kjetil b halvorsen
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Dada uma amostra radioativa com taxa de emissão desconhecida λ, a probabilidade de λ induzida por observações de emissões é gama distribuída.

Dado um processo normal com média conhecida, mas precisão desconhecida, a probabilidade induzida na precisão é distribuída gama.

E da mesma forma para os modelos Pareto e gama.

Neil G
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