Criando valores aleatórios correlacionados automaticamente em R

Estamos tentando criar valores aleatórios correlacionados automaticamente que serão usados ​​como séries temporais. Não temos dados existentes a que nos referimos e queremos apenas criar o vetor do zero.

Por um lado, é claro que precisamos de um processo aleatório com distribuição e seu SD.

Por outro lado, a autocorrelação que influencia o processo aleatório deve ser descrita. Os valores do vetor são autocorrelacionados com força decrescente ao longo de vários timelags. por exemplo, lag1 tem 0,5, lag2 0,3, lag1 0,1 etc.

Portanto, no final, o vetor deve parecer algo que: 2, 4, 7, 11, 10, 8, 5, 4, 2, -1, 2, 5, 9, 12, 13, 10, 8, 4, 3, 1, -2, -5

e assim por diante.

Na verdade, eu sempre encontro esse problema. Minhas duas maneiras favoritas de gerar uma série temporal com correlação automática em R dependem se eu quero ou não um processo estacionário.

Para uma série temporal não estacionária, uso um movimento browniano. Por exemplo, para um comprimento de 1000, faço:

x <- diffinv(rnorm(999))

Para uma série temporal estacionária, filtrei um ruído gaussiano. Por exemplo, isso se parece com:

x <- filter(rnorm(1000), filter=rep(1,3), circular=TRUE)

Nesse caso, a correlação automática no atraso é 0 se τ > 2 . Em outros casos, temos que calcular a correlação entre somas de variáveis. Por exemplo, para τ = 1, a covariância é$\tau$$\tau > 2$$\tau = 1$

$$Cov(X_1;X_2) = Cov(Y_1+Y_2+Y_3; Y_2+Y_3+Y_4) = Var(Y_2) + Var(Y_3) = 2.$$

Então você vê que a covariância automática cai linearmente até onde n é o comprimento do filtro.$n$$n$

Você também pode fazer longas séries temporais de memória (como movimento browniano fracionário), mas isso é mais complicado. Tenho uma implementação R do método Davies-Harte que posso enviar, se você desejar.

$R(\tau)$$\tau$

$$\Sigma=\left[ \begin{array}{cccc} R(0) & R(1) & ... & R(N) \\ R(1) & R(0) & ... & R(N-1) \\ \vdots & \ddots & ... & \vdots \\ R(N) & R(N-1) & ... & R(0) \end{array} \right]$$

$\Sigma$

$$f(\vec{x})=\frac{1}{(2\pi)^{N/2}|\Sigma|^{1/2}}\text{exp}\left(-\frac{1}{2}(\vec{x}-\vec{\mu})^T\Sigma^{-1}(\vec{x}-\vec{\mu})\right)\text{,}$$ $\vec{\mu}$

$X(t)=a X(t-1) + e(t)$$e(0)$$X(0) = e(0)$$X(1)=a X(0) + e(1)$$e(i)$$X(i)$$e(i)$$e(i)$