Se , qual o tamanho ?

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Se , onde e for uma sequência de variáveis ​​aleatórias positivas, qual o tamanho ?E|Xn|=O(an)an0XnYn=Xnln(1Xn)

Minha tentativa: pela desigualdade de Markov implica e . Resta avaliar . Para alguma sequência positiva de variáveis ​​aleatóriasE|Xn|=O(an)Xn=Op(an)Yn=Op(an)ln(1Xn)ln(1Xn)Zn=Op(1)

Xn=anZnln(Xn)=ln(an)+ln(Zn)ln(1Xn)ln(1an)=ln(Zn)ln(an)+1
portanto, se mostrarmos que o lado direito está delimitado em probabilidade, estamos prontos, desde .an0

Por definição se houver , existe tal que Zn=Op(1)ε>0M<

supnNPr(Zn>M)<ε.

Segue-se que para qualquer ε>0 , existe L=ln(M) tal que

supnNPr(lnZn>L)<ε,
então lnZn=Op(1) e
Yn=Op(anln(1an)).

Existem falhas no meu raciocínio? Existe uma maneira mais simples de ver esse resultado?

Minha segunda pergunta é se podemos dizer algo sobre a ordem na expectativa

E|Xnln(1Xn)|=O(?)?

Como parece ter apenas o primeiro momento na expectativa não é suficiente. Isso está correto?

ln(x)=j=1(1)j+1j(x1)j,
Laimond
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Eu não tenho ido através do cálculo do whuber, mas eu acho que você deveria estar usando sem olhar para cada bit de separadamentexlog(x)0Yn
seanv507

Respostas:

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Acredito que muito pode ser revelado contemplando séries de variáveis ​​aleatórias como as seguintes:

Xn={1n with probability 11f(n)2eg(n)f(n)eg(n) with probability 1f(n)2eg(n).

Mais tarde, vamos identificar as funções adequadas e depois de analisar os papéis que desempenham nas expectativas assintótica. Por enquanto, vamos apenas assumir que é diferente de zero e ambos divergem à medida que cresce, com para todos os .fgf(n)ng(n)nn>0

Por definição de expectativa,

E(Xn)=1n(11f(n)2eg(n))+f(n)eg(n)(1f(n)2eg(n))=1f(n)+1n1nf(n)2eg(n).

Evidentemente

E(Xn)=O(n1+f(n)1),

nos permitindo pegar , que converge para conforme necessário. (Como faz isso, e como , observe que ) No entanto, o cálculo de inclui um termoan=n1+f(n)10xlog(1/x)0x0anlog(1/an)0E(Yn)

(1)f(n)eg(n)log(1f(n)eg(n))×1f(n)2eg(n)=log(f(n))f(n)g(n)f(n)

O outro termo, igual a

(2)1nlog(11/n)×(11f(n)2eg(n))=lognn(11f(n)2eg(n))),

permanece limitado (e converge para zero).

Vamos supor que diverja mais lentamente que ; fgisto é, escolha para o qual diverge. A soma de e é assintoticamentefg(n)/f(n)(1)(2)

E(Yn)=O(g(n)f(n)).

Existem e satisfazendo todas as condições colocadas sobre eles (positivo, divergente, com também divergente): por exemplo, (com ) funciona para qualquer . Consequentemente, para todos e para todas as funções delimitadas abaixo por .fgg(n)/f(n)g(n)=nh(n)h(n)1f(n)=nϵ0<ϵ<1E(Yn)=O(h(n)n1ϵ)ϵ>0 h1

Isso mostra que não há limite para a taxa na qual pode divergir.E(Yn)

whuber
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Como são variáveis ​​aleatórias positivas, não precisamos do valor absoluto. Nós temosXn

{EXn}=O(an)limnEXnan<KR++

Então, já que também

an0EXn0Xn0,n

uma vez que são r.v's positivos. Portanto, a sequência de 's converge para o zero constante.X

Mas então

Yn=XnlnXnlimnYn=0

... ou talvez plims.

Estou esquecendo de algo?

Alecos Papadopoulos
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O post original parece estar fazendo duas perguntas relacionadas, mas mais delicadas, do que as que você aborda aqui. O primeiro diz respeito à taxa na qual converge para zero. O segundo diz respeito ao que acontece com sua expectativa. Yn
whuber