Usos na vida real das funções geradoras de momento

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Nos cursos mais básicos da teoria das probabilidades, as funções geradoras de momento relatado (mgf) são úteis para calcular os momentos de uma variável aleatória. Em particular a expectativa e variação. Agora, na maioria dos cursos, os exemplos que eles fornecem para expectativa e variação podem ser resolvidos analiticamente usando as definições.

Existem exemplos reais de distribuições nas quais é difícil fazer analiticamente a expectativa e a variação e, portanto, era necessário o uso de mgf? Estou perguntando porque sinto que não consigo entender exatamente por que eles são importantes nos cursos básicos.

Pavan Sangha
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Respostas:

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Você está certo que os mgf podem parecer um pouco desmotivados nos cursos introdutórios. Então, alguns exemplos de uso. Primeiro, em problemas discretos de probabilidade, geralmente usamos a função de geração de probabilidade, mas essa é apenas uma embalagem diferente do mgf, consulte Qual é a diferença entre a função de geração de momento e a função de geração de probabilidade? . O pgf pode ser usado para resolver alguns problemas de probabilidade que poderiam ser difíceis de resolver, caso contrário, para um exemplo recente neste site, consulte o PMF do número de tentativas necessárias para duas cabeças sucessivas ou a soma das distribuições de gama e sendo uma distribuição de poissonNN. Algumas aplicações não tão óbvias que ainda poderiam ser usadas em um curso introdutório são dadas em Expectativa de recíproca de uma variável , Valor esperado de quando segue uma distribuição Beta1/xx e Para RVs independentes , faz implica ? X1,X2,X3X1+X2=dX1+X3X2=dX3.

Outro tipo de uso é a construção de aproximações de distribuições de probabilidade, um exemplo é a aproximação do ponto de sela, que toma como ponto de partida os logaritmos naturais do mgf, denominados função geradora de cumulantes. Consulte Como funciona a aproximação do ponto de sela? e, para alguns exemplos, consulte Encadernado para a soma ponderada das variáveis ​​aleatórias Poisson e a soma genérica das variáveis ​​aleatórias Gamma.

Mgf's também podem ser usados ​​para provar teoremas de limite, por exemplo, o limite de poisson de distribuições binomiais Entenda intuitivamente por que a distribuição de Poisson é o caso limitante da distribuição binomial que pode ser provada por mgf's.

Alguns exemplos (séries de exercícios com soluções) de uso atuarial da MGF pode ser encontrada aqui: https://faculty.math.illinois.edu/~hildebr/370/370mgfproblemssol.pdf Pesquisar na Internet com "função geradora momento atuarial" dará muitos exemplos semelhantes. Os atuários parecem estar usando o mgf's para resolver alguns problemas (que surgem para instâncias em cálculos premium) que são difíceis de resolver de outra forma. Um exemplo na seção 3.5, página 21, e livros sobre a teoria do risco atuarial . Uma fonte de mgf (estimada) para essas aplicações pode ser mgf empírica (estranhamente, não consigo encontrar um post aqui sobre as funções geradoras de momento empírico).

kjetil b halvorsen
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Os casos de uso atuarial nas perguntas vinculadas do PDF assumem que, misteriosamente, um MGF recebe uma distribuição do que parece ser um nada, e, portanto, não é particularmente esclarecedor. A pesquisa do “MGF atuarial” da mesma forma circularmente apenas leva a outras questões acadêmicas que, de alguma forma, já são conhecidas por conhecer o MGF de uma distribuição misteriosa. Como alguém pode derivar uma coisa dessas se desconhecido? Seus outros exemplos, no entanto, são mais ilustrativos.
ijoseph
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Existem exemplos reais de distribuições nas quais é difícil fazer analiticamente a expectativa e a variação e, portanto, era necessário o uso de mgf?

Existem muitos problemas em que é difícil encontrar a média e a variação usando suas fórmulas padrão como uma soma / integral sobre a massa / densidade. Um exemplo em que isso é difícil, mas não impossível, é a distribuição do coletor de cupons , que possui função de massa de probabilidade:

P(T=t)=m!mtS(t1,m1)for all integers tm,

onde a função denota os números de Stirling do segundo tipo . Se você tentar usar o método padrão aqui, terá uma fórmula recursiva envolvendo os números de Stirling, e isso é complicado de se trabalhar. Um método mais simples de obter a média e a variância é derivar a função geradora cumulante (logaritmo da função geradora de momento) que não contém mais os números de Stirling. É então relativamente simples obter os cumulantes da distribuição. Eu recomendo que você experimente este exercício usando os dois métodos para entender o que quero dizer.S

Ben - Restabelecer Monica
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