Nos cursos mais básicos da teoria das probabilidades, as funções geradoras de momento relatado (mgf) são úteis para calcular os momentos de uma variável aleatória. Em particular a expectativa e variação. Agora, na maioria dos cursos, os exemplos que eles fornecem para expectativa e variação podem ser resolvidos analiticamente usando as definições.
Existem exemplos reais de distribuições nas quais é difícil fazer analiticamente a expectativa e a variação e, portanto, era necessário o uso de mgf? Estou perguntando porque sinto que não consigo entender exatamente por que eles são importantes nos cursos básicos.
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Existem muitos problemas em que é difícil encontrar a média e a variação usando suas fórmulas padrão como uma soma / integral sobre a massa / densidade. Um exemplo em que isso é difícil, mas não impossível, é a distribuição do coletor de cupons , que possui função de massa de probabilidade:
onde a função denota os números de Stirling do segundo tipo . Se você tentar usar o método padrão aqui, terá uma fórmula recursiva envolvendo os números de Stirling, e isso é complicado de se trabalhar. Um método mais simples de obter a média e a variância é derivar a função geradora cumulante (logaritmo da função geradora de momento) que não contém mais os números de Stirling. É então relativamente simples obter os cumulantes da distribuição. Eu recomendo que você experimente este exercício usando os dois métodos para entender o que quero dizer.S
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