Valor esperado do tempo de espera para o primeiro dos dois ônibus em execução a cada 10 e 15 minutos

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Me deparei com uma pergunta da entrevista:

Há um trem vermelho que vem a cada 10 minutos. Há um trem azul vindo a cada 15 minutos. Ambos começam a partir de um horário aleatório, para que você não tenha nenhum cronograma. Se você chegar à estação em um horário aleatório e pegar um trem que chegar primeiro, qual é o tempo de espera esperado?

Shengjie Zhang
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3
Os trens chegam a tempo, mas com fases igualmente distribuídas desconhecidas, ou seguem um processo de poisson com meios 10 minutos e 15 minutos.
Tilefish Poele
1
O primeiro, não poisson.
Shengjie Zhang 27/09
7
O @Tilefish faz um comentário importante ao qual todos devem prestar atenção. Não há resposta definitiva. Você deve assumir o que "começar de uma hora aleatória" pode significar. (Significa que eles começam simultaneamente ou que iniciam em diferentes momentos desconhecidos? O que justificaria tratar o "desconhecido" como uma variável aleatória com uma distribuição conhecida definida?) Em função da diferença de fase (que importa apenas o módulo de 5 minutos), a resposta pode variar de 15/4 para 25/6 . Uma distribuição uniforme da diferença de fase produziria 35/9 .
whuber
Todo mundo parecia interpretar o comentário do OP como se dois ônibus tivessem iniciado em dois momentos aleatórios diferentes. Que eles iriam começar ao mesmo tempo aleatório parece ser uma tomada incomum
Aksakal
1
@Aksakal. Nem todo mundo: eu não faço e pelo menos uma resposta neste tópico não - é por isso que estamos vendo respostas numéricas diferentes. Além disso, quase ninguém reconhece o fato de que eles tiveram que fazer uma interpretação dessa questão para obter uma resposta.
whuber

Respostas:

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Uma maneira de abordar o problema é começar com a função de sobrevivência. Para esperar pelo menos minutos, você deve esperar pelo menos t minutos para o trem vermelho e azul. Portanto, a função geral de sobrevivência é apenas o produto das funções individuais de sobrevivência:tt

S(t)=(1t10)(1t15)

que, para , é a probabilidade de você ter que esperar pelo menos t minutos para o próximo trem. Isso leva em consideração o esclarecimento do OP em um comentário de que as premissas corretas a serem adotadas são que cada trem tenha um horário fixo independente do outro e da hora de chegada do viajante e que as fases dos dois trens sejam distribuídas uniformemente ,0t10t

Em seguida, o pdf é obtido como

p(t)=(1S(t))=110(1t15)+115(1t10)

E o valor esperado é obtido da maneira usual:

,E[t]=010tp(t)dt=010t10(1t15)+t15(1t10)dt=010(t6t275)dt

que resulta em minutos.359

Dave
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Dave, você pode explicar como p (t) = (1- s (t)) '?
precisa saber é o seguinte
Eu posso explicar que para você S (t) = 1-F (t), p (t) é apenas f (t) = F (t) '.
Deep North
4
A ideia da função de sobrevivência é ótima. Mas por que derivar o PDF quando você pode integrar diretamente a função de sobrevivência para obter a expectativa? De fato, dois terços dessa resposta apenas demonstram o teorema fundamental do cálculo com um exemplo particular. E o que justifica o uso do produto para obter ? Há uma suposição oculta por trás disso. S
whuber
2
@whuber eu prefiro esta abordagem, derivando o PDF a partir da função de sobrevivência, porque corretamente lida com casos onde o domínio da variável aleatória não inicia em 0.
Dave
2
(1) Seu domínio é positivo. (2) A fórmula é facilmente generalizada. .
whuber
9

A resposta é

E[t]=xymin(x,y)110115dxdy=x(y<xydy+y>xxdy)110115dx
Get the parts inside the parantheses:
y<xydy=y2/2|0x=x2/2
y>xxdy=xy|x15=15xx2
So, the part is:
(.)=(y<xydy+y>xxdy)=15xx2/2
Finally,
E[t]=x(15xx2/2)110115dx=(15x2/2x3/6)|010110115=(1500/21000/6)110115=510/93.89

Here's the MATLAB code to simulate:

nsim = 10000000;
red= rand(nsim,1)*10;
blue= rand(nsim,1)*15;
nextbus = min([red,blue],[],2);
mean(nextbus)
Aksakal
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1
You're making incorrect assumptions about the initial starting point of trains. i.e. Using your logic, how many red and blue trains come every 2 hours? How many trains in total over the 2 hours? etc.
Tilefish Poele
1
Can trains not arrive at minute 0 and at minute 60?
Tilefish Poele
1
what about if they start at the same time is what I'm trying to say. What if they both start at minute 0. How many instances of trains arriving do you have?
Tilefish Poele
1
The simulation does not exactly emulate the problem statement. In particular, it doesn't model the "random time" at which you appear at the bus station. As such it embodies several unstated assumptions about the problem.
whuber
2
@whuber it emulates the phase of buses relative to my arrival at the station
Aksakal
4

x10x10×15x15 for 0x10, which when integrated gives 3593.889 minutes

Alternatively, assuming each train is part of a Poisson process, the joint rate is 115+110=16 trains a minute, making the expected waiting time 6 minutes

Henry
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3
@Dave it's fine if the support is nonnegative real numbers.
Neil G
3
@dave He's missing some justifications, but it's the right solution as long as you assume that the trains arrive is uniformly distributed (i.e., a fixed schedule with known constant inter-train times, but unknown offset). It works with any number of trains. This is the because the expected value of a nonnegative random variable is the integral of its survival function.
Neil G
1
@Dave with one train on a fixed 10 minute timetable independent of the traveller's arrival, you integrate 10x10 over 0x10 to get an expected wait of 5 minutes, while with a Poisson process with rate λ=110 you integrate eλx over 0x< to get an expected wait of 1λ=10 minutes
Henry
1
@NeilG TIL that "the expected value of a non-negative random variable is the integral of the survival function", sort of -- there is some trickiness in that the domain of the random variable needs to start at 0, and if it doesn't intrinsically start at zero(e.g. for a different problem where the inter-arrival times were, say, uniformly distributed between 5 and 10 minutes) you actually have to use a lower bound of 0 when integrating the survival function. (starting at 0 is required in order to get the boundary term to cancel after doing integration by parts)
Dave
3
+1 At this moment, this is the unique answer that is explicit about its assumptions. All the others make some critical assumptions without acknowledging them.
whuber
2

I am probably wrong but assuming that each train's starting-time follows a uniform distribution, I would say that when arriving at the station at a random time the expected waiting time for:

  1. the Red train is E[R]=5 mins
  2. the Blue train is E[B]=7.5 mins
  3. the train that comes the first is E[min(R,B)]=1510(E[B]E[R])=154=3.75 mins


As pointed out in comments, I understood "Both of them start from a random time" as "the two trains start at the same random time". Which is a very limiting assumption.

keepAlive
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1
Thanks! Your got the correct answer. But 3. is still not obvious for me. Could you explain a bit more?
Shengjie Zhang
1
This is not the right answer
Aksakal
1
I think the approach is fine, but your third step doesn't make sense.
Neil G
2
This answer assumes that at some point, the red and blue trains arrive simultaneously: that is, they are in phase. Other answers make a different assumption about the phase.
whuber
2

Suppose that red and blue trains arrive on time according to schedule, with the red schedule beginning Δ minutes after the blue schedule, for some 0Δ<10. For definiteness suppose the first blue train arrives at time t=0.

Assume for now that Δ lies between 0 and 5 minutes. Between t=0 and t=30 minutes we'll see the following trains and interarrival times: blue train, Δ, red train, 10, red train, 5Δ, blue train, Δ+5, red train, 10Δ, blue train. Then the schedule repeats, starting with that last blue train.

If WΔ(t) denotes the waiting time for a passenger arriving at the station at time t, then the plot of WΔ(t) versus t is piecewise linear, with each line segment decaying to zero with slope 1. So the average wait time is the area from 0 to 30 of an array of triangles, divided by 30. This gives

W¯Δ:=130(12[Δ2+102+(5Δ)2+(Δ+5)2+(10Δ)2])=130(2Δ210Δ+125).
Notice that in the above development there is a red train arriving Δ+5 minutes after a blue train. Since the schedule repeats every 30 minutes, conclude W¯Δ=W¯Δ+5, and it suffices to consider 0Δ<5.

If Δ is not constant, but instead a uniformly distributed random variable, we obtain an average average waiting time of

15Δ=05130(2Δ210Δ+125)dΔ=359.
grand_chat
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2

Este é um processo de Poisson. O trem vermelho chega de acordo com uma distribuição de Poisson com parâmetro de taxa 6 / hora.
O trem azul também chega de acordo com uma distribuição de Poisson com taxa de 4 / hora. As chegadas de trem vermelho e azul são independentes. O número total de chegadas de trens também é Poisson com taxa 10 / hora. Como a soma do tempo entre as chegadas dos trens é exponencial, com média de 6 minutos. Como a média exponencial é a recíproca do parâmetro de taxa de Poisson. Como a distribuição exponencial não possui memória, o tempo de espera esperado é de 6 minutos.

Alison
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The Poisson is an assumption that was not specified by the OP. But some assumption like this is necessary. The logic is impeccable. +1 I like this solution.
Michael R. Chernick
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OP said specifically in comments that the process is not Poisson
Aksakal