A probabilidade de k zeros fornecer a soma de n variáveis ​​aleatórias de Poisson é t?

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Suponha que eu tenha X1,X2,X3,...Xn IDI variáveis ​​aleatórias de uma distribuição Poisson do parâmetro λ. Dado queX1+X2+X3+...+Xn=t, qual é a probabilidade de exatamente k do X1,X2,X3,...Xn são zero?

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Minha abordagem: comecei considerando a função de massa de probabilidade conjunta em que X1+X2+X3+...+Xn=t e k do X1,X2,X3,...Xné zero, mas não sei como proceder a partir daqui. Se eu usar um modelo binomial para calcular a probabilidade de ter um número k de zeros, não sei como impor a restrição à soma deXn.

O amarelo
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Esta questão foi suficiente claro para obter respostas, então eu não entendo o voto a fechar como claro
Kjetil b Halvorsen
Você já fez o n=2caso? O que você aprendeu da resposta?
P.Windridge

Respostas:

2

Deixei Y:=X1++Xn. Observe que a distribuição de(X1,,Xn) condicional em Y=té multinomial (exercício). Isso fornece uma maneira conceitualmente mais fácil de pensar sobre o problema - você temn caixas e jogar tbolas neles aleatoriamente. Qual é a probabilidade de quek estão vazias?

Bem, primeiro de tudo, existem nt maneiras de jogar o t bolas no n caixas sem restrições.

Agora fica um pouco mais complicado, mesmo que apenas contemos coisas. Existem maneiras de escolher as caixas que ficam vazias. Estamos, então, saiu com bolas para jogar no caixas restantes, de modo que cada caixa não está vazia. Você pode fazer isso por inclusão / exclusão, assim como na prova do número Stirling /math/550256/stirling-numbers-of-second-type .(nk)ktnk

A combinação desses ingredientes fornece a probabilidade desejada, , .

1nt(nk)j=0nk(1)nkj(nkj)jt,
tnknk

Observe que não aparece na resposta.λ


Por interesse e como exercício rápido, codifiquei isso (pegando emprestada uma função de número Stirling que encontrei no Google) para ver como é a resposta:

##-- Stirling numbers of the 2nd kind
##-- (Abramowitz/Stegun: 24,1,4 (p. 824-5 ; Table 24.4, p.835)

##> S^{(m)}_n = number of ways of partitioning a set of $n$ elements into $m$
##> non-empty subsets

Stirling2 <- function(n,m)
{
  ## Purpose:  Stirling Numbers of the 2-nd kind
  ##        S^{(m)}_n = number of ways of partitioning a set of
  ##                      $n$ elements into $m$ non-empty subsets
  ## Author: Martin Maechler, Date:  May 28 1992, 23:42
  ## ----------------------------------------------------------------
  ## Abramowitz/Stegun: 24,1,4 (p. 824-5 ; Table 24.4, p.835)
  ## Closed Form : p.824 "C."
  ## ----------------------------------------------------------------

  if (0 > m || m > n) stop("'m' must be in 0..n !")
  k <- 0:m
  sig <- rep(c(1,-1)*(-1)^m, length= m+1)# 1 for m=0; -1 1 (m=1)
  ## The following gives rounding errors for (25,5) :
  ## r <- sum( sig * k^n /(gamma(k+1)*gamma(m+1-k)) )
  ga <- gamma(k+1)
  round(sum( sig * k^n /(ga * rev(ga))))
}


pmf<-function(n,t,k) {
  if (t >= (n-k) & n >= k) {
    (choose(n,k) * factorial(n-k) * Stirling2(t,n-k) )/(n^t)
  } else {
    0
  }
}


lambda <- 1
n <- 10
reps <- 500000
set.seed(2017)
X <- matrix(ncol=n,nrow=reps,data=rpois(n*reps,lambda))

K <- apply(X, 1,function(x){sum(x == 0)})
hist(K)

# restrict only to those that sum to t
Y<-rowSums(X)


t<-8
G<- (Y == t)
sum(G)

k <- 5
#head(X[which(K==k),])
#head(Y[which(K==k)])
#head(X[G,])
#head(Y[G])

posskvalues <- (n-t):n
nk <- length(posskvalues)
empP <- numeric(nk)
thP <- numeric(nk)

for(i in 1:nk) {
  k <- posskvalues[i]
# sum(K[G] == k)
  empP[i] <- sum(K[G] == k)/sum(G)
  thP[i] <- pmf(n,t,k)
}

plot(posskvalues,empP,main=paste("n=",n,", t=",t))
points(posskvalues,thP,pch="x")

insira a descrição da imagem aqui

P.Windridge
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3

Y=X1+X2++Xn é uma variável aleatória Poisson com o parâmetro . Então você pode escrever uma expressão para .nλP(Y=t)

Existem opções para um conjunto de variáveis ​​que são zero. Escolha um conjunto específico. Então, a soma do conjunto complementar de variáveis ​​é uma variável aleatória Poisson com o parâmetro , e é independente das variáveis escolhidas . Portanto, você pode usar a independência para anotar expressões para(nk)kZ(nk)λZk

P(Z=t) ,

P( variáveis escolhidas são ,k0)

P( escolhido é zero E escolhido é zero E .kZ=t)=P(kY=t)

Você pode pegar daqui? Não deve haver distribuições binomiais envolvidas ...

Dilip Sarwate
fonte
E se tiver zeros? Z
The Yellow
Que tal isso? é a soma das variáveis ​​aleatórias de Poisson e se algumas delas são 0, o restante deve ser maior para que a soma seja . Zt
precisa saber é o seguinte
Eu só quero k variáveis ​​que são zero. "Variável aleatória Poisson Z com parâmetro (n-k) λ" -> é possível que o conjunto complementar de variáveis ​​também contenha zeros, nesse caso, eu tenho mais de k zeros paraX1,X2,X3,...Xn
O amarelo
P (k zero | t) = p (t | k zero) * P (k zero) / P (t) .... Essa estratégia funciona para um conjunto específico de variáveis iguais a zero. No entanto, e se queremos saber se algum conjunto de variáveis ​​é igual a zero? Esse problema parece mais difícil. (Não tenho certeza se isso qualquer em vez de específico é a questão)k
P(specific k zero|t)=((nk)λte(nk)λtt!)(λ0eλt0!)k(nλtenλtt!)=(nkn)t
k
Sexto Empírico
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Esta pergunta é sobre ter k variáveis ​​iguais a zero. Não é um conjunto específico de k variáveis. A pergunta que tenho sobre a resposta acima é que, e se os s assumidos como diferentes de zero, assumem um valor zero. Mais especificamente, em " escolhido é zero AND .", E se em assumir um valor zero, nesse caso, eu teria mais de k zeros no total. XiP(kY=t)XiY
The Yellow