E se

Para uma variável aleatória contínua $X$ , E se $E(|X|)$ é finito, é $\lim_{n\to\infty}n P(|X|>n)=0$ ?

Esse é um problema que encontrei na internet, mas não tenho certeza se é válido ou não.

Eu sei disso $n P(|X|>n)<E(|X|)$ detém pela desigualdade de Markov, mas não posso mostrar que chega a 0 como $n$ vai para o infinito.

probability expected-value probability-inequalities 456 123
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(1) Continuidade não é necessária. (2) Expresse a expectativa como parte integrante da função de sobrevivência

Pr (| X | > n)

$\Pr(|X|\gt n)$ . (3) Considere o contrapositivo: o que um limite diferente de zero implicaria na expectativa?

whuber

@whuber bom exercício! Acho que tenho uma resposta correta, mas como isso parece self-study, acho que não devo escrever aqui. Posso criar uma sala de bate-papo privada e mostrar minha solução, para que você possa me dizer se está correta?

DeltaIV

@ Delta Este é um caso em que postar sua resposta me pareceria bem: o OP tem uma sub-pergunta específica e não parece estar apenas procurando respostas para tarefas de casa.

whuber

@whuber isso me lembra a inexistência de uma distribuição uniforme sobre os números naturais - isso significa que, embora a continuidade não seja necessária aqui, a aditabilidade contável é ?

Bill Clark

Respostas:

Veja a sequência de variáveis aleatórias $\{Y_n\}$ definido retendo apenas grandes valores de $|X|$ :

Y_{n} : = | X | Eu (| X | > n) .

$Y_n:=|X|I(|X|>n).$ Está claro que

Y_{n} \geq n I (| X | > n)

$Y_n\ge nI(|X|>n)$ , tão

\begin{matrix} (1) & E (Y_{n}) \geq n P (| X | > n) . \end{matrix}

$E(Y_n)\ge nP(|X|>n).\tag1$ Observe que

Y_{n} \to 0

$Y_n\to0$ e

| Y_{n} | \leq | X |

$|Y_n|\le |X|$ para cada

n

$n$ . Portanto, o LHS de (1) tende a zero pela convergência dominada .

grand_chat
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Eu acho que você quer dizer "RHS" na sua sentença final, caso contrário, bom trabalho!

jbowman

@jbowman, ele / ela significa

E Y_{n} \to 0

$\mathbb{E}{Y_n} \to 0$ pelo teorema da convergência dominada (observe que

Y_{n} \to 0

$Y_n \to 0$ por si só não é suficiente para chegar a essa conclusão). Eu adicionei o link para o DCT na wikipedia

P.Windridge 7/07

@ P.Windridge - não li com atenção suficiente e associei o "So the LHS" à equação 1, em vez de à frase anterior. Foi mal.

jbowman

Observe que

Y_{n}

$Y_n$ é uma variável aleatória.

Y_{n} \to 0

$Y_n\rightarrow 0$ em que sentido?

YHH 3/02/19

@YHH A convergência é pontual: para cada

ω

$\omega$ ,

Y_{n} (ω) \to 0

$Y_n(\omega)\to0$ Como

n \to \infty

$n\to\infty$ .

grand_chat 4/02/19

Eu posso fornecer uma resposta para uma variável aleatória contínua (certamente há uma resposta mais geral). Deixei $Y=|X|$ :

E [Y] = \int_{0 0}^{\infty} y f_{Y} (y) d y = \int_{0 0}^{n} y f_{Y} (y) d y + \int_{n}^{\infty} y f_{Y} (y) d y \geq \int_{0 0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n \int_{n}^{\infty} f_{Y} (y) d y = \dots + n (F_{Y} (\infty) - F_{Y} (n)) = \dots + n (1 1 - F_{Y} (n)) = \int_{0 0}^{n} y f_{Y} (y) d y + n P (Y > n)

$\mathbb{E}[Y]=\int_0^\infty yf_Y(y)\text{d}y=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+\int_n^\infty yf_Y(y)\text{d}y\ge\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+n\int_n^\infty f_Y(y)\text{d}y=\dots+n\left(F_Y(\infty)-F_Y(n)\right)=\dots+n(1-F_Y(n))=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+nP(Y\gt n)$

portanto

0 0 \leq n P (Y > n) \leq (E [Y] - \int_{0 0}^{n} y f_{Y} (y) d y)

$0\leq nP(Y\gt n)\le\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)$

Agora, já que por hipótese $\mathbb{E}[Y]$ é finito, temos que

lim_{n \to \infty} (E [Y] - \int_{0 0}^{n} y f_{Y} (y) d y) = E [Y] - lim_{n \to \infty} \int_{0 0}^{n} y f_{Y} (y) d y = E [Y] - E [Y] = 0 0

$\lim_{n\to \infty}\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)=\mathbb{E}[Y]-\lim_{n\to \infty}\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y=\mathbb{E}[Y]-\mathbb{E}[Y]=0$

Então

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0 0

$\lim_{n\to \infty}nP(Y\gt n)=0$

pelo teorema do sanduíche.

DeltaIV
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@ P.Windridge, por favor, verifique se meu uso do teorema da convergência dominada está correto? Eu tenho uma quantidade

n P (Y > n)

$nP(Y>n)$ , que não é negativo e não é maior que uma quantidade cujo limite é 0, portanto

lim_{n \to \infty} n P (Y > n) = 0

$\lim_{n\to\infty}nP(Y>n)=0$ na minha aplicação do teorema. Obrigado

DeltaIV

@ DeltaIV- primeiro, para esclarecer "

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

$a_n \le b_n \le c_n$ e

a_{n}, c_{n} \to l

$a_n, c_n \to l$ implica

b_{n} \to l

$b_n\to l$ "Não é o teorema da convergência dominada (geralmente é chamado de teorema de sanduíche).

P.Windridge

@ DeltaIV- não, você não precisa do DCT, o MCT é suficiente (isso inclui a possibilidade de

E Y = \infty

$\mathbb{E} Y = \infty$ , mas você não pode dizer

E Y - E Y = \infty - \infty = 0

$\mathbb{E} Y -\mathbb{E} Y = \infty - \infty = 0$ ! )

P.Windridge

Sem problemas. Btw, eu sei

E [Y]

$E[Y]$ é finito por suposição, eu estava apenas explicando onde você usa essa suposição (o MCT em si não exige isso, ao contrário do DCT, que o @grand_chat usou e espero que você tenha visto :)).

P.Windridge

@ P.Windridge ah, ok! Eu não percebi que o MCT não exige essa suposição. Eu dei uma olhada no DCT, por isso pensei que não precisava dele para a minha prova :) Pago o preço de não ter sido ensinado sobre a integração da Lebesgue na universidade ... por esse motivo, estou acostumado a faça o cálculo de probabilidade em termos de pdfs, e não em termos de medidas.

DeltaIV

$E\left | X \right |< \infty \Leftrightarrow E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\rightarrow 0$ (uniformemente integrável)

$E\left | X \right |=E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}+E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |\leq n}$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\leq E\left | X \right |< \infty$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\geq nE\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}=nP\left ( \left | X \right |>n\right )$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n} \rightarrow 0 \Rightarrow nP\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0 \Rightarrow P\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0$

ie $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} P\left ( \left | X \right |>n\right )=0$

Aldehu
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