Valor de log esperado da distribuição exponencial não central

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Suponha que X seja não centralmente distribuído exponencialmente com a localização k taxa λ . Então, o que é E(log(X)) .

Eu sei que para k=0 , a resposta é log(λ)γ onde γ é a constante de Euler-Mascheroni. E quando k>0 ?

Neil G
fonte
Você já tentou integrar o Mathematica?
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Suponho k>0 (quando a densidade é escrita como λexp{λ(xk)} ); caso contrário, x<0 com probabilidade> 0, com consequências terríveis para Elogx .
jbowman
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Eu obtive . O Mathematica é mais rápido se você usar o comando para especificar o espaço do parâmetro. E[log(X)]=ekλΓ(0,kλ)+log(k)Assumptions
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A função gama incompleta superior conta como forma fechada ? (Para mim, isso não acontece.) Isso está apenas convenientemente ocultando uma integral via notação.
cardinal
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@ NeilG Este é o código do Mathematica Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]. Você pode simplesmente copiá-lo e colá-lo em um arquivo .nb. Não tenho certeza se o Wolfram Alpha permite incluir restrições.

Respostas:

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A integral desejada pode ser submetida a manipulações de força bruta; aqui, tentamos fornecer uma derivação alternativa com um sabor um pouco mais probabilístico.

XExp(k,λ)k>0λX=Z+kZExp(λ)

log(X/k)0

Elog(X/k)=0P(log(X/k)>z)dz=0P(Z>k(ez1))dz.
P(Z>k(ez1))=exp(λk(ez1))z0ZExp(λ)
Elog(X/k)=eλk0exp(λkez)dz=eλkλkt1etdt,
onde a última igualdade segue da substituição , observando que .t=λkezdz=dt/t

A integral no tamanho do lado direito da última exibição é apenas por definição e, portanto, conforme confirmado pelo cálculo do Mathematica do @ Procrastinator nos comentários à pergunta.Γ(0,λk)

ElogX=eλkΓ(0,λk)+logk,

Nota : a notação equivalente também é frequentemente usada no lugar de .E1(x)Γ(0,x)

cardeal
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+1 @ Michael Chernick Parece que nem todo mundo é preguiçoso;).
Isso é realmente ótimo. Eu só quero ressaltar para quem implementa isso que muitas implementações da função gama incompleta restringem o primeiro parâmetro a ser estritamente positivo. A identidade resolve esse pequeno problema. Γ(0,z)=Ei(z)
Neil G