Expectativa "inesperada"

Algum de nossos especialistas em Monte Carlo pode explicar a expectativa "inesperada" ao final desta resposta ?

Resumo ex post facto da outra pergunta / resposta: se são variáveis ​​aleatórias do IID e as expectativas existem, então um argumento simples de simetria mostra que , mas um experimento de Monte Carlo com parece contradizer essa proposição.$X_1,\dots,X_n$$\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$X i ∼ N ( 0 , 1 $\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]=1$$X_i\sim\mathrm{N}(0,1)$

x <- matrix(rnorm(10^6), nrow = 10^5)
mean(x[,2]/rowMeans(x))

[1] 5.506203

A explicação para a avaliação de Monte Carlo da relação assumindo valores estranhos é que a expectativa não existe. Como uma transformação de um Cauchy no seu exemplo Normal . De fato, que não é integrável em uma vez que equivalente a .X 1 / X 2 E [ X 1 / ( X 1 + X 2 ) $\mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)]$$X_1/X_2$

$$\begin{align*} \mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)] &=\mathbb{E}[1/(1+X_2/X_1)]\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+y}\,\frac{1}{\pi(1+y^2)}\text{d}y \end{align*}$$ $y=-1$$(y+1)^{-1}$

Observe que não é uma variável de Cauchy, mas a transformação de uma variável de Cauchy pela função O motivo é que e que que .$X_1/\bar{X}$

$$f:\ y \to \dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}y}$$ $$(X_2+\ldots+X_n)\sim\text{N}(0,n-1)$$ Z∼N(0,1 $$\frac{X_1}{\bar{X}}=\dfrac{n}{1+(X_2+\ldots+X_n)/X_1}=\dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}Z/X_1}$$ $Z\sim\text{N}(0,1)$

Observe que, conforme cresce até o infinito, converge na distribuição para a variável aleatória igual a com probabilidade .X 1 / ˉ X ± ∞ 1 /$n$$X_1/\bar{X}$$\pm \infty$$1/2$