Distribuição incondicional do processo ARMA com erros t-student

No modelo , quando os erros têm distribuição Normal, a distribuição incondicional de é Normal. Quando os erros têm uma distribuição t-student com graus de liberdade. Qual é a distribuição incondicional de ? $Y_t\sim ARMA(p,q)$ $Y_t$ $\nu$ $Y_t$

Então que .

Y_{t} = ϕ_{1 1} Y_{t - 1 1} + \dots + ϕ_{p} Y_{t - p} + e_{t} - θ_{1 1} e_{t - 1 1} - \dots - θ_{q} e_{t - q}

$Y_t=\phi_1Y_{t-1}+\dots+\phi_pY_{t-p}+e_t-\theta_1e_{t-1}-\dots-\theta_q e_{t-q}$

e_{t} \sim t_{ν}

$e_t\sim t_\nu$

Não tenho idéia de como encontrar a distribuição dela e dos livros que, principalmente, abrangem apenas o caso de erros gaussianos.

Alguma referência também seria interessante.

time-series self-study references arima t-distribution
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Estou pensando na linha de seguir. Se o seu ARMA (p, q) for invertível, você poderá invertê-lo para MA (infinito) pelo teorema da decomposição de Wold. Agora você está olhando para a soma infinita de Student-t. De acordo com este jstor.org/stable/2286298?seq=1#page_scan_tab_contents , se graus de liberdade é um número ímpar, o resultado é uma mistura de variáveis t-student.

Cagdas Ozgenc # 02/11

Respostas:

O modelo ARMA está dentro da classe geral de modelos lineares em que seu vetor observável é uma função linear de um vetor subjacente de termos de erro de IID. Considere o formulário do modelo linear geral com erros de IID após uma distribuição T:

Y_{t} = \sum_{k = 0 0}^{\infty} {UMA}_{k} ε_{t - k} ε_{k} \sim IID Student T (df = ν) .

$Y_t = \sum_{k=0}^\infty A_k \varepsilon_{t-k} \quad \quad \quad \varepsilon_k \sim \text{IID Student T}(\text{df} = \nu). \quad \quad \quad \quad$

Uma das propriedades úteis da distribuição T do aluno é que ela pode ser escrita como uma mistura da normal com um parâmetro de precisão distribuído por gama . Com essa representação, o formulário do modelo acima pode ser escrito equivalentemente como:

Y_{t} = \sum_{k = 0 0}^{\infty} \frac{{UMA}_{k} ϵ_{t - k}}{\sqrt{λ_{k}}} ϵ_{k} \sim IID N (0 0, 1 1) λ_{k} \sim Gama (\frac{ν}{2}, \frac{ν}{2}) .

$Y_t = \sum_{k=0}^\infty \frac{A_k \epsilon_{t-k}}{\sqrt{\lambda_k}} \quad \quad \quad \epsilon_k \sim \text{IID N}(0, 1) \quad \lambda_k \sim \text{Gamma}(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{\nu}{2}).$

Você pode ver neste formulário que o valor $Y_t$ é uma soma de termos independentes, que são cada proporções de variáveis aleatórias normais e variáveis aleatórias gama (fornecendo variáveis aleatórias T escaladas). A diferença entre o presente modelo e o modelo linear gaussiano padrão é a presença dos termos do denominador na soma. (No caso gaussiano padrão, corrigimos $\lambda = \lambda_k$ .)

A distribuição para essa quantidade é uma convolução complicada, mas o CLT garante que converge para a normalidade em condições amenas. É possível simular a distribuição aplicando os denominadores aleatórios de raiz-gama aos termos da soma, o que dá um pouco mais de variabilidade à quantidade do que ocorre no modelo linear gaussiano padrão.

Ben - Restabelecer Monica
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