Adição, subtração, multiplicação e divisão de variáveis aleatórias normais estão bem definidas, mas e as operações trigonométricas?
Por exemplo, suponhamos que estou tentando encontrar o ângulo de uma cunha triangular (modelada como um triângulo de ângulo reto) com os dois catetos com as dimensões e , ambos descritos como distribuições normais.
Tanto a intuição quanto a simulação me dizem que a distribuição resultante é normal, com média . Mas existe uma maneira de calcular a distribuição do ângulo resultante? Referências sobre onde eu encontraria a resposta?
(Para um pouco de contexto, estou trabalhando na tolerância estatística de peças mecânicas. Meu primeiro impulso seria simplesmente simular todo o processo, verificar se o resultado final é razoavelmente normal e calcular o desvio padrão. Mas estou pensando se houver uma abordagem analítica mais clara.)
Respostas:
Nesta interpretação, o triângulo é um triângulo retângulo de comprimentos laterais e Y distribuídos binormalmente com expectativas μ x e μ y , desvios padrão σ x e σ y e correlação ρ . Buscamos a distribuição de arctan ( Y / X ) . Para esse fim, padronize X e Y para queX Y μx μy σx σy ρ arctan(Y/X) X Y
e Y = σ y η + μ y
com e η variáveis normais padrão com correlação ρ . Seja θ um ângulo e, por conveniência, escreva q = tan ( θ ) . Entãoξ η ρ θ q=tan(θ)
O lado esquerdo, sendo uma combinação linear de normais, é normal, com média e variação σ 2 y + q 2 σ 2 x - 2 q ρ σ x σ y .μyσy−qμxσx σ2y+q2σ2x−2qρσxσy
A diferenciação do cdf normal desses parâmetros em relação a produz o pdf do ângulo. A expressão é bastante pavorosa, mas uma parte importante é a exponencialθ
mostrando imediatamente que o ângulo não é normalmente distribuído. No entanto, como as simulações mostram e a intuição sugere, deve ser aproximadamente normal, desde que as variações dos comprimentos laterais sejam pequenas em comparação com os comprimentos propriamente ditos. Nesse caso, uma aproximação do ponto de sela deve produzir bons resultados para valores específicos de , μ y , σ x , σ y e ρ , mesmo que uma solução geral de forma fechada não esteja disponível. O desvio padrão aproximado será eliminado logo após encontrar a segunda derivada (com relação a θμx μy σx σy ρ θ ) do logaritmo do pdf (como mostrado nas equações (2.6) e (3.1) da referência). Eu recomendo um sistema de álgebra computacional (como MatLab ou Mathematica) para realizar isso!
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Você está olhando para estatísticas circulares e, em particular, uma distribuição circular chamada distribuição normal projetada .
Por alguma razão, esse tópico pode ser um pouco difícil de pesquisar no Google, mas os dois principais textos sobre estatística circular são The Statistical Analysis of Circular Data by Fisher e Directional Statistics por Mardia e Jupp.
Para uma análise completa da distribuição normal projetada, consulte a página 46 de Mardia e Jupp. Existem expressões de formulário fechado (até a integral da função de erro) para a distribuição e, como sugeriu o whuber, ele se parece com o normal quando sua `variância '(cuidado aqui, o que significa variância para uma variável aleatória em um círculo? !) é pequeno, ou seja, quando a distribuição está bastante concentrada em um ponto (ou direção ou ângulo).
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